Выбрать главу
минус qA.. Ток из (19.8) я могу записать в виде

Тогда это и есть тот ток J, который удовлетворяет уравнению (19.8).

Уравнение (19.8) показывает, что вероятность сохраняется локально. Если частица исчезает из одной области, то она не может оказаться в другой без того, чтобы что-то не протекло в промежутке между областями. Вообразите, что первая область окружена замкнутой поверхностью, которая проведена так да­леко, что имеется нулевая вероятность обнаружить на ней элект­рон. Полная вероятность обнаружить электрон где-то внутри поверхности равна объемному интегралу от Р. Но, согласно теореме Гаусса, объемный интеграл от дивергенции J равняется поверхностному интегралу от J. Если y на поверхности равно нулю, то (19.12) утверждает, что и J есть нуль; значит, полная вероятность отыскать частицу внутри поверхности не может измениться. Только тогда, когда часть вероятности достигает границы, какая-то ее часть может вытечь наружу. Мы вправе говорить, что она выбирается наружу только через поверхность— это и есть локальная сохраняемость.

§ 3. Два рода импульсов

Уравнение для тока довольно интересно, хотя порой причи­няет немало забот. Ток можно было бы считать чем-то вроде про­изведения плотности частиц на скорость. Плотность выглядела бы как yy*, так что здесь все в порядке. Каждый член в (19.12) напоминает типичное выражение для среднего значения опера­тора

Поэтому, быть может, следовало бы рассматривать его как ско­рость потока? Но тогда получается, что скорость с импульсом можно связать двояким образом, ведь с равным правом можно было бы считать, что скоростью должно быть отношение импуль­са к массе. Эти две возможности разнятся на вектор-потен­циал.

Оказывается, те же две возможности имелись еще в класси­ческой физике, и в ней тоже было найдено, что импульс можно определить двумя путями. Один можно назвать «кинематиче­ским импульсом», но для абсолютной ясности я в этой лекции буду его называть «mv-импульсом». Это импульс, получаемый от перемножения массы на скорость. Другой, более математичный, более отвлеченный импульс, именуемый иногда «динамическим импульсом», а я его буду называть «р-импульс». Итак, у нас есть две возможности:

mv-импульс=mv, (19.14)

р-импульс=тv+А. (19,15)

И вот оказывается, что в квантовой механике, вклю­чающей магнитные поля, с оператором градиента свя­зан именно р-импульс, так что оператор скорости это (19.13).

Здесь я хотел бы немного отклониться от темы и по­яснить, почему так получается—отчего в квантовой механике должно быть нечто по­хожее на (19.15). Волновая функция меняется со временем, следуя уравнению Шредингера (19.3). Если бы я внезапно изменил векторный потенциал, то в первое мгновение вол­новая функция не изменилась бы, а изменилась бы только скорость ее изменения. Теперь представьте себе, что случится в следующих обстоятельствах. Пусть имеется длинный соленоид, в котором я создаю поток магнитного поля (поля В), как пока­зано на фиг. 19.2.

Фиг. 19.2. Электрическое поле снаружи соленоида, ток в кото­ром увеличивается.

А поблизости сидит заряженная частица. До­пустим, что этот поток почти мгновенно с нуля вырастает до какого-то значения. Сперва векторный потенциал равен нулю, а потом я его включаю. Это означает, что я внезапно создаю кру­говой вектор-потенциал А. Вы помните, что криволинейный ин­теграл от А вдоль петли это то же самое, что поток поля В сквозь петлю [см. гл. 14, § 1 (вып. 5)]. И что же происходит, когда я мгновенно включаю векторный потенциал? Согласно квантовомеханическому уравнению, внезапное изменение А не вызывает внезапного изменения y; волновая функция пока та же самая. Значит, и градиент не изменился.

Но вспомните, что происходит электрически, когда я вне­запно включаю поток. В течение краткого времени, пока поток растет, возникает электрическое поле, контурный интеграл от которого равен скорости изменения потока во времени

Е=-дA/дt. (19.16)

Если поток резко меняется, то электрическое поле достигает огромной величины и оказывает сильное воздействие на частицу. Эта сила равна произведению заряда на электрическое поле; стало быть, в момент появления потока частица получает полный импульс (т. е. изменение в mv), равный -qА. Иными словами, если вы подействуете на заряд векторным потенциалом, включив его внезапно, то этот заряд немедленно схватит mv-импульс, равный -qА. Но имеется нечто, не меняющееся не­медленно,— это разность между mv и -qА. Стало быть, сумма p=mv+qA и есть то, что не меняется, если вы подвергаете вектор-потенциал внезапному изменению. Именно эту величину мы именуем p-импульсом, именно она играет важную роль в классической динамике; она же оказывается существенной и в квантовой механике. Эта величина зависит от характера волновой функции и является преемником оператора