Фейнмановские лекции по физике 9

(11.10) следовало бы

Но, считая, что начало координат приходится на х₀, можно положить х_n= nb, и тогда а (х_n) превратится в

т. е. состояние, описываемое этими а (х_n), физически ничем не будет отличаться от состояний при k=0. Оно не представляет особого решения.

В качестве другого примера возьмем k=p/4b. Вещественная часть а (х_n) изображена на фиг. 11.4 кривой 1.

Фиг. 11.4. Пара значений к, представляющих одну и ту же физическую ситуацию. Кривая 1—для k=p/4b, кривая 2 —для k=7p/4b.

Если бы k было в семь раз больше (k=7p//4b), то вещественная часть а (х_n) менялась бы так, как показано на кривой 2. (Сама косинусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках х_n.

Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения k во всех х_n дают одинаковые амплитуды.

Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные решения нашей задачи получатся, если взять k только из некоторой ограниченной области. Мы выберем область от -p/b до +p/b (она показана на фиг. 11.3). В этой области энергия стационарных состояний с ростом абсолютной величины k возрастает.

Еще одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только перепрыгивать к ближайшим соседям с амплитудой iA/h, но имеет еще возможность одним махом перепрыгивать и к следующим за ними соседям с некоторой другой амплитудой iB/h. Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме а_п=e^ikx, этот тип решений является универсальным. Вы также увидите, что стационарные состояния с волновым числом k имеют энергию E₀-2Acos kb-2Bcos2kb. Это означает, что форма кривой Е как функции k не универсальна, а зависит от тех частных допущений, при которых решается задача. Это не обязательно косинусоида, и она даже не обязательно симметрична относительно горизонтальной оси. Но зато всегда верно, что кривая вне интервала (-p/b, p/b) повторяется, так что заботиться о других значениях k не нужно.

Посмотрим еще внимательнее на то, что происходит при малых k, когда вариации амплитуд между одним х_n и соседним очень маленькие. Будем отсчитывать энергию от такого уровня, чтобы было Е₀=2А; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется на нуль энергии. Для достаточно малых k можно написать

и энергия (11.13) превратится в

Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа, описывающего пространственные вариации

амплитуд С_n.