Вы видите, как много можно вывести из сохранения момента количества движения. Еще некоторые примеры будут приведены в следующей главе.
· · ·
Замечание после лекции. Под амплитудой а здесь мы подразумевали амплитуду того, что состояние
| протон летит по + z, спин по + z> образовано за бесконечно малое время dt из состояния |L, спин по + z>, или, иными словами, что
<протон летит по +z, спин по +z|H|L, спин по + z>= iha, (15.38)
где H — гамильтониан всего мира или по крайней мере той его части, которая ответственна за L-распад. Сохранение момента количества движения означает, что у гамильтониана должно быть такое свойство:
<протон летит по +z, спин по -z|H|L, спин по +z>=0. (15.39)
Под амплитудой b подразумевается, что
<протон летит по + z, спин по —z|H|L, спин по -z>=ihb. (15.40)
Сохранение момента количества движения предполагает, что
<протон летит по + z, спин по +z|H|L, спин по -z>=0. (15.41)
Если вам не ясно, как написаны амплитуды (15.33) и (15.34), можно их записать в более математической форме. Когда мы писали (15.33), нам нужна была амплитуда того, что Л со спином, направленным по +z, распадается на протон, движущийся вдоль направления +z' и обладающий спином, направленным тоже по +z', т. е.
<протон летит по + z', спин по +z'|H|L, спин по +z>. (15.42)
По общим теоремам квантовой механики эту амплитуду можно записать так:
2S<протон летит по + z', спин по +z'|H|L, i> <L, i|L, спин по +z>,
(15.43)
где суммирование проводится но базисным состояниям |L, i> покоящейся L-частицы. Поскольку спин L-частнцы равен 1/2, таких состояний два, л каком бы базисе мы ни работали. Если в качестве базисных мы выберем состояния со спином, направленным вверх и вниз по отношению к оси z'(|+z'>, |-z'>), то амплитуда (15.43) будет равна сумме
<протон летит по +z', спин по +z'|H|L, +z'> <L, +z'|L, +z>+ +<протон летит по +z', спин по +z'|H|L,-z'><L,-z|L, +z>. (15.44).
Первый множитель в первом слагаемом равен а [из (15.38)], а первый множитель во втором слагаемом равен нулю — из формулы (15.41), в свою очередь следующей из сохранения момента количества движения. Второй множитель <L, +z'|L, +z> из первого слагаемого — это как раз амплитуда того, что частица со спином 1/2, направленным вверх по одной оси, будет также обладать спином, направленным вверх по другой оси, повернутой относительно первой на угол q . Такая амплитуда равна cosq/2 [см. табл. 4.2 (вып. 8)]. Так что (15.44) равно просто а созq/2, как и было написано в (15.33). Амплитуда (15.34) следует из таких же рассуждений для L-частицы со спином, направленным вниз.
· · ·
§ 6. Сводка матриц поворота
Теперь мы хотим собрать воедино все, что мы узнали о поворотах частиц со спином 1/2 и спином 1; это будет удобно для дальнейшего. Ниже вы найдете таблицы двух матриц поворота Rz (j) и Ry(q) для частиц со спином 1/2, для частиц со спином 1 и для фотонов (частиц со спином 1 и нулевой массой).
Для каждого из них приведены элементы матрицы <j|R|i> поворотов вокруг оси 2 или оси y. Они, конечно, в точности эквивалентны амплитудам типа <+Т|0S>, которыми мы пользовались в предыдущих главах. Под Rz (j) мы понимаем, что берется проекция состояния на новую систему координат, повернутую на угол j вокруг оси z, причем для определения направления поворота всегда применяется правило правой руки; RV(q) означает, что оси координат повернуты на угол 9 вокруг оси у. Зная эти два поворота, вы запросто сможете рассчитать любой поворот. Как обычно, матричный элемент пишется так, что состояние слева — это базисное состояние новой (повернутой) системы, а состояние справа — это базисное состояние старой (неповернутой) системы. Клетки таблицы можно истолковывать по-разному. К примеру, клетка eij/2 в табл. 15.1 означает, что матричный элемент < — |R| —> = е-ij/2. Но это означает также, что R^| —>=е-ij/2| — } или что