Допустим, мы расположили все три объекта со спином 1/2 спинами вверх; обозначим такое состояние |+++>. Если мы взглянем на него из системы координат, повернутой относительно оси z на угол j, то каждый плюс останется плюсом, но умножится на еij/2. Таких множителей у нас тройка, так что
Ясно, что состояние |+++> — это как раз то, что мы называем состоянием m=+3/2, или состоянием |3/2, + 3/2>.
Если мы затем повернем эту систему вокруг оси у, то у каждого из объектов со спином 1/2 появится некоторая амплитуда стать плюсом или стать минусом, так что вся система станет теперь смесью восьми возможных комбинаций |+++>,
|++->, |+-+>, |-++>, |+-->, |-+->,
|--+> или |--->. Ясно, однако, что их можно разбить на четыре группы, чтобы каждая соответствовала своему значению m. Прежде всего мы имеем |+++>, для которого m=3/2. Затем имеется тройка состояний |++->, |+-+> и |-++> — каждое с двумя плюсами и одним минусом. Поскольку каждый из объектов со спином 1/2 имеет равные шансы стать после поворота минусом, то каждая из этих трех комбинаций должна войти на равных паях. Поэтому возьмем комбинацию
где множитель 1/Ц3 поставлен для нормировки. Если мы повернем это состояние вокруг оси z, то получим множитель eij/2 для каждого плюса и e-if/2 для каждого минуса. Каждое слагаемое в (16.27) умножится на eij/2, и общий множитель еij/2 мы вынесем за скобки. Такое состояние соответствует нашему представлению о состоянии с m=+1/2; мы приходим к выводу, что
Точно так же можно написать
что соответствует состоянию с m=-1/2. Заметьте, что мы берем только симметричные сочетания, у нас нет комбинаций, куда входят слагаемые со знаком минус. Они отвечали бы состояниям с таким же т, но с иным j. Это аналогично случаю спина 1, где (1/Ц2){|+->+|-+>} было состоянием | 1,0>, а (1/Ц2){|+->-|-+>} было состоянием | 0,0>. Наконец, мы имеем
Эта четверка состояний сведена в табл. 16.1.
Таблица 16.1 · СВОДКА СОСТОЯНИЙ
Все, что нам теперь нужно сделать, это взять каждое состояние, повернуть его вокруг оси у и посмотреть, сколько новых состояний оно создаст — пользуясь известной нам матрицей поворота для частицы спина 1/2. Можно поступать так же, как мы это делали в случае спина 1 [см. гл. 10, § 6 (вып. 8)]. (Только алгебры будет побольше.) Мы будем строго следовать идеям гл. 10 (вып. 8), так что подробных объяснений давать не будем. Состояния в системе S будут обозначаться
и т. д.; T-системой будет считаться система, повернутая вокруг оси у системы S на угол q. Состояния в T-системе будут обозначаться |3/2, + 3/2, Т>, |3/2, + 1/2, Т> и т. д. Ясно, что | 3/2, + 3/2, Т> это то же самое, что | +' + ' + ' > (штрихи всегда относятся к T-системе). Точно так же |3/2, +1/2, Т> будет равняться