вроде е2, m, h. От этого выкладки станут легче. Если сделать подстановки
то уравнение (17.8) обратится (после умножения на r) в
Эти изменения масштаба означают, что мы измеряем расстояние r и энергию Е в «естественных» атомных единицах. Например, r=r/rB, где rB=h2/me2, называется «боровским радиусом» и равно примерно 0,528 Е. Точно так же e=E/ER, где ER=me4/2h2. Эта энергия называется «ридбергом» и равна примерно 13,6 эв. Раз произведение ry встречается в обеих частях уравнения, то лучше работать с ним, чем с самим y. Обозначив
ry=f, (17.12)
мы получим уравнение, которое выглядит проще:
Теперь нам предстоит найти функцию f, которая удовлетворяет уравнению (17.13), иными словами, просто решить дифференциальное уравнение. К сожалению, не существует никаких общих, годных во всех случаях жизни методов решения любого дифференциального уравнения. Вы должны просто покрутить его то так, то этак. Хоть уравнение не из легких, но люди все же нашли, что его можно решить при помощи следующей процедуры. Первым делом вы заменяете f, которое является некоторой функцией от r, произведением двух функций:
Это просто означает, что вы выносите из f(r) множитель е-ar. Для любого f(r) это можно сделать. Задача теперь просто свелась к отысканию подходящей функции g(r).
Подставив (17.14) в (17.13), мы получим следующее уравнение для g:
Мы вправе выбрать любое a, поэтому сделаем так, чтобы было
a2=-e; (17.16)
тогда получим
Вы можете подумать, что мы не так уж далеко ушли от уравнения (17.13); но новое уравнение тем хорошо, что его можно легко решить разложением g(r) в ряд по r. В принципе есть возможность таким же способом решать и (17.13), но только все проходит сложнее. Мы говорим: уравнению (17.17) можно удовлетворить некоторой функцией g(r), которая записывается в виде ряда
где ak— постоянные коэффициенты. И нам осталось только найти подходящую бесконечную последовательность коэффициентов! Проверим, годится ли такая запись решения, Первая производная такой функции g(r) равна
а вторая
Подставляя это в (17:17), имеем
Пока еще не ясно, вышло ли у нас что-нибудь; но мы рвемся вперед. Если мы первую сумму заменим некоторым ее эквивалентом, то все выражение станет выглядеть лучше. Первый член в сумме равен нулю, поэтому каждое k можно заменить на k+1, от этого ничего в бесконечном ряде не изменится. Значит, первую сумму мы вправе записать и так:
Теперь можно объединить все три суммы в одну:
Этот степенной ряд должен обращаться в нуль при всех мыслимых значениях r, что возможно лишь тогда, когда коэффициенты при каждой степени r порознь равны нулю. Мы получим решение для атома водорода, если отыщем такую последовательность ak, для которой
при всех k>1. А это, конечно, устроить легко. Выберите какое угодно а1. Затем все прочие коэффициенты образуйте с помощью формулы
Пользуясь ею, вы получите а2, а3, а4 и т. д., и каждая пара будет, конечно, удовлетворять (17.21). Мы получим ряд для g(r), удовлетворяющий (17.17). С его помощью мы напишем y — решение уравнения Шредингера. Обратите внимание, что решения зависят от того, какова предполагаемая энергия (через a), но для каждого значения e получается свой ряд. Решение-то у нас есть, но что оно представляет физически? Понятие об этом мы получим, поглядев, что происходит вдалеке от протона — при больших r. Там основное значение приобретают наивысшие степени членов ряда, т. е. нам надо посмотреть, что бывает при больших k. Когда k>>1, то уравнение (17.22) приближенно совпадает с :