а это означает, что
Но это как раз коэффициенты разложения в ряд е+2ar. Функция g оказывается быстро растущей экспонентой. Даже после умножения на е-ar получающаяся функция f(r) [см. (17.14)] будет при больших r меняться как еar. Мы нашли математическое решение, но оно не является физическим. Оно представляет случай, когда электрону менее всего вероятно очутиться вблизи протона! Чаще всего он вам повстречается на очень больших расстояниях р. А волновая функция для связанного электрона должна при больших r стремиться к нулю.
Придется подумать, нельзя ли как-нибудь обмануть решение. Оказывается, можно. Посмотрите! Если бы, по счастью, оказалось, что a=1/n, где n — любое целое число, то уравнение (17.22) привело бы к an+1=0. И все высшие члены обратились бы тоже в нуль. Вышел бы не бесконечный ряд, а конечный многочлен. Любой многочлен растет медленнее, чем еar, поэтому множитель е-a наверняка забьет его при больших r, и функция f при больших r будет стремиться к нулю. Единственные решения для связанных состояний это те, для которых a=1/n, где n=1, 2, 3, 4 и т. д.
Оглядываясь на уравнение (17.16), мы видим, что у сферически симметричного волнового уравнения могут существовать решения для связанных состояний лишь при энергиях
Допустимы только те энергии, которые составляют именно такую часть ридберга ЕR=me4/2h2, т. е. энергия n-го уровня равна
Кстати, ничего мистического в отрицательных энергиях нет. Они отрицательны просто потому, что когда мы решили писать V= -е2/r, то тем самым в качестве нуля энергии выбрали энергию электрона, расположенного вдалеке от протона. Когда он ближе, то его энергия меньше, т. е. ниже нуля. Энергия ниже всего (самая отрицательная) при n=1 и возрастает к нулю с ростом п.
Еще до открытия квантовой механики экспериментальное изучение спектра водорода показало, что уровни энергии описываются формулой (17.24), где ЕR, как это следует из измерений, равно примерно 13,6 зв. Затем Бор придумал модель, которая привела к тому же уравнению (17.24) и предсказала, что ER должно равняться me4/2h2. Первым большим успехом теории Шредингера явилось то, что она смогла воспроизвести этот результат прямо из основного уравнения движения электрона.
Теперь, когда мы рассчитали наш первый атом, давайте рассмотрим свойства полученного нами решения. Объединим все выделившиеся по дороге факторы и выпишем окончательный вид решения:
где
и
Пока нас интересует главным образом относительная вероятность обнаружить электрон в том или ином месте, можно в качестве а1 выбирать любое число. Возьмем, например, а1=1. (Обычно выбирают а1 так, чтобы волновая функция была «нормирована», т. е. чтобы полная вероятность обнаружить электрон где бы то ни было в атоме была равна единице. Мы в этом сейчас не нуждаемся.)
В низшем энергетическом состоянии n=1 и
Если атом водорода находится в своем основном (наиболее низком энергетическом) состоянии, то амплитуда того, что электрон будет обнаружен в каком-то месте, экспоненциально падает с расстоянием от протона. Вероятнее всего встретить его вплотную близ протона. Характерное расстояние, на котором он встречается, составляет около одного r, или одного боровского радиуса rB.
Подстановка n=2 дает следующий более высокий уровень. В волновую функцию этого состояния входят два слагаемых. Она равна
Волновая функция для следующего уровня равна
Эти три волновые функции начерчены на фиг. 17.2.
Фиг. 17.2. Волновые функции трех первых состояний атома водорода с l=0. Масштабы выбраны так, чтобы полные вероятности совпадали.