Общая тенденция уже видна. Все волновые функции при больших r, поколебавшись несколько раз, приближаются к нулю. И действительно, число «изгибов» у yn как раз равно n, или, если угодно, число пересечений оси абсцисс — число нулей — равно n-1.
§ 3. Состояния с угловой зависимостью
Мы нашли, что в состояниях, описываемых волновой функцией yn(r), амплитуда вероятности обнаружить электрон сферически симметрична; она зависит только от r — расстояния до протона. Момент количества движения таких состояний равен нулю. Теперь займемся состояниями, у которых какой-то момент количества движения имеется.
Можно было бы, конечно, просто исследовать чисто математическую задачу отыскания функций от r, q и j, удовлетворяющих дифференциальному уравнению (17.7), добавив только физическое условие, что единственно приемлемые для нас функции — это такие, которые при больших r стремятся к нулю. Так почти всегда и поступают. Но мы попробуем несколько сократить наш путь и воспользоваться тем, что мы уже знаем, именно тем, что нам известно, как амплитуды зависят от пространственных углов.
Атом водорода в том или ином состоянии — это частица с определенным «спином» j — квантовым числом полного момента количества движения. Часть этого спина возникает от собственного спина электрона, другая — от движения электрона. Поскольку каждая из этих частей действует (в очень хорошем приближении) независимо, то мы по-прежнему будем игнорировать спиновую часть и учтем только «орбитальный» момент. Впрочем, это орбитальное движение в точности подобно спину. Скажем, если орбитальное квантовое число есть l, то z-компонента момента количества движения может быть l, l-1, l-2, . . ., -l. (Мы, как обычно, измеряем все в единицах h.) Кроме того, по-прежнему годятся все наши матрицы поворота и прочие известные свойства. (Начиная с этого места, мы действительно начнем пренебрегать спином электрона; говоря о «моменте количества движения», мы будем иметь в виду только орбитальную его часть.)
Поскольку поле с потенциалом V, в котором движется электрон, зависит только от r, а не от q и не от j, то гамильтониан симметричен относительно поворотов. Отсюда следует, что и момент количества движения и все его проекции сохраняются. Это не есть особое свойство кулонова потенциала e2/r; оно справедливо при движении в любом «центральном поле» — поле, зависящем только от r.
Представим себе некоторое возможное состояние электрона; внутренняя угловая структура этого состояния будет определяться квантовым числом l. В зависимости от «ориентации» полного момента количества движения относительно оси z его проекция т на ось z может равняться одному из 2l+1 чисел между +l и -l. Пусть, например, m=1. С какой амплитудой электрон окажется на оси z на расстоянии r от начала? С нулевой. Электрон на оси z не может иметь какого-либо орбитального момента относительно этой оси. Но пусть тогда m=0. Вот это другое дело; теперь уже может появиться не равная нулю амплитуда того, что электрон окажется на оси z на таком-то расстоянии от протона. Обозначим эту амплитуду Fl(r). Это — амплитуда того, что электрон будет обнаружен на расстоянии r по оси z, когда атом находится в состоянии | l, 0>, т. е. в состоянии с орбитальным моментом l и его z-компонентой m=0. А если нам известно Fl(r), то известно все. Теперь уже в любом состоянии |l, m> мы можем узнать амплитуду ylm (r) того, что электрон обнаружится в произвольном месте атома. Как мы это узнаем? А вот следите. Пусть у нас есть атом в состоянии | l, m>. Какова амплитуда того, что электрон обнаружится под углом q, j и на расстоянии r от начала? Проведите новую ось z, скажем z', под этим углом (фиг. 17.3) и задайте вопрос: какова амплитуда того, что электрон окажется на новой оси z на расстоянии r?