Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться
где ai—различные допустимые значения наблюдаемой величины, а Рi — вероятность получения этого значения.
Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состоянию |y>. Его средняя энергия равна
А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:
Теперь будем рассматривать левое <y| как общий множитель.
Вынесем его за знак суммы и напишем
Это выражение имеет вид <y|j>, где |j> — некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством
Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |hi> в количестве
Еi<hi|y>.
Но вспомним теперь, что такое |hi>. Состояния |hi> считаются стационарными, т. е. для каждого из них
А раз Еi—просто число, то правая часть совпадает с |hi>Еi, а сумма в (18.16) — с
Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комбинацию, приводящую к единице:
Чудесно, уравнение (18.16) совпало с
Средняя энергия состояния |y> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде
Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |y> оператором Н^ и затем умножьте на <y|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодно совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Нij для этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний |i> средняя энергия может быть вычислена из
где амплитуды <i|H|j> как раз и есть элементы матрицы Hij. Проверим это на том частном примере, когда состояния |i> суть состояния с определенной энергией. Для них H^|j>=e|j>, так что <i|H^|j>=Ejdij и
что вполне естественно.
Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть L^z есть оператор z-компоненты момента количества движения L. Средняя z-компонента для состояния |y> равна
Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором А^, то среднее значение А в состоянии |y> дается формулой
Под этим подразумевается
где
§ 3. Средняя энергия атома
Пусть мы хотим узнать среднюю энергию атома в состоянии, описываемом волновой функцией y(r); как же ее найти? Рассмотрим сперва одномерную задачу, когда состояние |y> определяется амплитудой <x|y>=y (x). Нас интересует частный случай применения уравнения (18.19) к координатному представлению. Следуя нашей обычной процедуре, заменим состояния |i> и |j> на |х> и |х'> и сумму на интеграл. Мы получим
Этот интеграл можно при желании записывать иначе:
где
Интеграл по х' в (18.25) тот же самый, что встречался нам в гл. 14 [см. (14.50) и (14.52)]. Он равен