Возникновение доказательства — это метасистемный переход в рамках языка. Формула перестает быть вершиной языковой деятельности, появляется новый класс языковых объектов — доказательства и новый вид языковой деятельности, направленный на исследование и производство формул. Это новый этаж иерархии по управлению, и его появление вызывает огромный рост числа формул (закон разрастания предпоследнего уровня).
Метасистемный переход всегда означает качественный скачок, взлет на новую ступень, бурное взрывоподобное развитие. Математика стран Древнего Востока оставалась почти неизменной на протяжении одного-двух тысячелетий, и наш современник читает о ней со снисхождением взрослого к ребенку. Греки же за одно-два столетия создали всю геометрию, над изучением которой трудятся в поте лица наши старшеклассники. И даже больше, ибо школьная программа по геометрии охватывает лишь часть достижений культуры (до 330 г. до н. э.). Вот краткая летопись математики классического периода.
585 г. до н. э. Фалес Милетский. Первые геометрические теоремы.
550 г. до н. э. Пифагор и его последователи. Теория чисел. Учение о гармонии. Построение правильных многогранников. Теорема Пифагора. Открытие несоизмеримых отрезков. Геометрическая алгебра. Геометрические построения, эквивалентные решению квадратных уравнений.
500 г. до н. э. Гиппас-пифагореец, который должен был порвать со своими товарищами, так как делился с посторонними людьми своими знаниями и открытиями (у пифагорейцев это запрещалось). Он дал, в частности, построение шара, описанного вокруг додекаэдра.
430 г. до н. э. Гиппократ Хиосский (не путать с врачом Гиппократом из Коса). Считался самым знаменитым геометром V в. до н. э. Занимался квадратурой круга, осуществляя сложные геометрические построения. Ему известна связь между вписанными углами и дугами, построение правильного шестиугольника, обобщение теоремы Пифагора для тупоугольных и остроугольных треугольников. Все это для него, видимо, уже азбучные истины. Он может квадрировать любой многоугольник, т. е. построить для него квадрат равной площади.
427–348гг. до н. э. Платон. Он сам хотя и не получал новых математических результатов, но математику знал, и она играла важную роль в его философии точно так же, как философия Платона сыграла важную роль в математике. Крупнейшие математики своего времени: Архит, Теэтет, Евдокс и другие были друзьями Платона, его учениками в области философии и учителями в области математики.
390 г. до н. э. Архит Тарентский. Стереометрическое решение задачи об удвоении куба, т. е. построение куба с объемом, равным удвоенному объему данного куба.
370 г. до н. э. Евдокс Книдский. Изящная, логически безукоризненная теория пропорций, вплотную подходящая к современной теории действительного числа. «Метод исчерпывания», лежащий в основе современного понятия об интеграле.
384–322 гг. до н. э. Аристотель. Он положил начало логике и физике. Труды Аристотеля обнаруживают полное владение математическим методом и знание математики, хотя он, подобно своему учителю Платону, и не сделал в ней никаких открытий. Аристотель-философ немыслим без Аристотеля-математика.
300 г. до н. э. Евклид. Он живет уже в новую Александрийскую эпоху. В своих знаменитых «Началах» Евклид собрал и систематизировал все важнейшие труды по математике, существовавшие в конце IV в. до н. э., и изложил их в том же духе, как это было принято в школе Платона. В течение более чем двух тысячелетий школьные курсы геометрии следуют, с большей или меньшей степенью точности, «Началам» Евклида
Что такое математика? О чем эта наука? Эти вопросы стали задавать греки, начав сооружать основанное на доказательствах здание математики, ибо ореол абсолютной достоверности, чуть ли не священности математического знания, который оно приобрело благодаря наличию доказательств, сразу же выделил его на фоне остальных, обыденных, житейских познаний. Ответ был дан платоновской теорией идей. Эта теория легла в основу всей греческой философии, определила стиль и образ мышления образованных греков и оказала огромное влияние на дальнейшее развитие философии и науки греко-римско-европейской культуры. Логику, которая привела Платона к его теории, установить нетрудно. О чем идет речь в математике? О точках, линиях, прямоугольных треугольниках и т. д. Но существуют ли в природе точки, не имеющие размеров. Или абсолютно прямые и бесконечно тонкие линии? Или в точности равные отрезки, углы, площади? Ясно, что нет. Выходит, что математика изучает несуществующие, воображаемые вещи, что это наука ни о чем. Но согласиться с этим было бы никак невозможно. Во-первых, математика приносила неоспоримую практическую пользу. Правда, Платон и его последователи относились к практике с презрением, но это было уже логическим следствием философии, а не ее посылкой. Во-вторых, всякий человек, изучающий математику, совершенно ясно чувствует, что имеет дело с реальностью, а не с фикцией, и никакими логическими доводами искоренить это ощущение невозможно. Следовательно, объекты математики реально существуют, но не как материальные предметы, а как образы, или идеи, потому что слово идея (ίδєα) по-гречески и означало образ, вид1. Идея существует вне мира материальных вещей и независимо от него. Чувственно воспринимаемые материальные вещи суть лишь несовершенные и временные копии (или тени) совершенных и вечных идей. Утверждение о реальном, объективном существовании мира идей и составляет сущность учения Платона («платонизма»).