Итак, мнение Платона о полной независимости, современной ему математики от опыта нельзя признать обоснованным. Однако вопрос о природе математической достоверности требует дальнейшего исследования, ибо просто сослаться на опыт и приравнять тем самым математическую достоверность эмпирической достоверности значило бы броситься в крайность, противоположную платонизму. Ведь мы ясно ощущаем, что математическая достоверность чем-то отличается от эмпирической. Чем же?
Утверждение, что окружности радиуса AB с центрами в A и B пересекаются (мы будем для краткости обозначать это утверждение через E1), представляется нам если не совсем, то почти абсолютно достоверным, мы просто не можем себе представить, чтобы они не пересеклись. Не можем себе представить... Этим-то и отличается математическая достоверность от эмпирической! Когда мы говорим о завтрашнем восходе солнца, мы можем представить, что солнце не взойдет. И только на основании опыта мы полагаем, что оно, вероятно, взойдет. Здесь есть две возможности, и предсказание, какая из них осуществится, имеет вероятностный характер. Когда же мы говорим, что дважды два — четыре и что окружности, построенные так, как было указано выше, пересекаются, мы не можем представить, чтобы было иначе. Мы не видим другой возможности, поэтому и утверждения эти воспринимаем как абсолютно достоверные и независимые от конкретных наблюденных нами фактов.
Для понимания природы математической достоверности очень поучительно довести до конца разбор утверждения E1. Поскольку у нас все-таки остались некоторые сомнения относительно абсолютной необходимости пересечения окружности на рис. 10.3, попробуем представить себе ситуацию, когда они не пересекаются. Полная неудача этой попытки будет означать, что утверждение E1 математически достоверно и не может быть разложено на более простые утверждения; тогда его следует принять в качестве аксиомы. Если же нам ценой большего или меньшего насилия над воображением удастся представить себе ситуацию, в которой πA и πB не пересекаются, эта ситуация, надо полагать, придет в противоречие с какими-то более простыми и глубокими утверждениями, обладающими математической достоверностью; тогда мы их и примем за аксиомы, а наличие противоречия будет служить доказательством E1. Таков обычный путь к установлению аксиом в математике.
Рис. 10.4. «Перескакивающие» окружности
Первичные положения арифметики принципиально имеют ту же природу, что и первичные положения геометрии, но они, пожалуй, еще проще и очевидней, их отрицание еще более невообразимо, чем отрицание геометрических аксиом. Возьмем, например, аксиому, гласящую, что для любого числа a
a + 0 = a.
Число 0 изображает пустое множество. Можете ли вы представить себе, что от слияния некоторого множества с пустым множеством число элементов в нем изменится? Или вот еще одна арифметическая аксиома: для любых чисел a и b
a + (b + 1) = (a + b) + 1,
т. е. если единицу прибавить к числу b и результат сложить с а, то получим такое же число, как если бы мы сначала сложили a и b, а затем к результату прибавили единицу. Если проанализировать, почему мы не можем вообразить ситуацию, противоречащую этому утверждению, то мы увидим, что дело в тех же соображениях непрерывности, которые проявляются и в геометрических аксиомах. В процессе счета мы как бы проводим непрерывные линии, соединяющие считаемые предметы с элементами стандартного множества и, конечно, линии во времени (вспомним происхождение понятия «предмет»), непрерывность которых обеспечивает тождественность числа самому себе.
Естественный звуковой язык при перенесении его на бумагу порождает линейный язык, т. е. такую систему, все подсистемы которой суть линейные последовательности знаков. Знаки — это предметы, относительно которых предполагается только то, что мы умеем отличать одинаковые (тождественные) знаки от различных. Линейность естественных языков является результатом того, что звуковой язык развертывается во времени, а отношение следования во времени легко моделируется отношением порядка расположения на пространственной прямой. Специализация естественного языка привела к созданию математического линейного знакового языка, который в настоящее время образует основу математики.