Рис. 9.3. Числовые знаки брахми
Утрата числами модельного вида с лихвой компенсировалась использованием в древнем мире абака — счетной доски с параллельными прорезями, по которым передвигались камешки. Разные прорези соответствовали единицам разного достоинства. Абак изобрели, вероятно, еще вавилоняне. Он служил для выполнения всех четырех действий арифметики. Греческие купцы широко пользовались абаком, того же типа счетные доски были в ходу у римлян. Латинское слово calculus (камешек) стало обозначать также «исчисление». Римляне же придумали надевать счетные камешки на рейки; так возникли счеты, которыми у нас пользуются и до сих пор. Эти простейшие счетные приборы имели большое значение, и только после того, как полностью сформировалась позиционная система счисления, они стали уступать место выкладкам на грифельной доске или бумаге.
Рис. 9.4. Генеалогия современных цифр (по Menninger, Zahlwort, Ziffer)
Основы позиционной системы заложили вавилоняне. В системе счисления, которую они заимствовали от своих предшественников — шумерийцев, мы с самого начала (т. е. в древнейших дошедших до нас глиняных табличках, относящихся к началу третьего тысячелетия до н. э.), видим две основные «большие единицы» — десять и шестьдесят. Откуда взялось число шестьдесят — об этом можно только догадываться. Известный историк математики О. Нейгебауэр полагает, что источником послужило отношение между основными денежными единицами, имевшими хождение в Двуречье: одна мана (по гречески мина) составляла шестьдесят шекелей. Такое объяснение не удовлетворяет нашего любопытства, ибо тотчас же возникает вопрос: а почему в мане шестьдесят шекелей? Не потому ли как раз, что в ходу была шестидесятиричная система? Ведь не потому мы считаем десятками и сотнями, что в рубле сто копеек! Ассириолог Ф.Тюро-Данжен приводит лингвистические аргументы в пользу того, что система счета была первичным явлением, а система мер — вторичным. Выбор числа шестьдесят был, очевидно, исторической случайностью, однако вряд ли можно усомниться, что этой случайности способствовала важная особенность числа шестьдесят: оно имеет необычайно много делителей: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Это свойство очень полезно и для денежной единицы (с тех пор как существуют деньги, существует и деление их поровну), и для основания системы счета, если предположить, что какой-то мудрец ввел ее, руководствуясь соображениями удобства вычислений.
Математическая культура вавилонян известна нам по текстам, относящимся к двум периодам: древневавилонскому (1800–1600 гг. до н. э.) и эпохе Селевкидов (305–64 гг. до н. э.). Сравнение их показывает, что в математике вавилонян каких-либо радикальных перемен за эти полтора тысячелетия не произошло.
Вавилоняне изображали единицу узким вертикальным клинышком 
, а десять — широким горизонтальным 
. Число 35 выглядело так: 
. Аналогично изображались числа до 59 включительно. Но 60 изображалось снова узким вертикальным клинышком, таким же, как единица! На самых древних табличках можно видеть, что клинышек, изображающий 60, больше, чем клинышек единицы. Таким образом, число 60 не только понималось как «большая единица», но и изображалось, в буквальном смысле слова, как большая единица. Соответственно появились «большие десятки» для десятикратно увеличенных больших единиц. Затем различие между большими и маленькими клиньями стерлось, они стали распознаваться по своему положению. Так возникла позиционная система. Число 747 = 12 × 60 + 27 вавилонянин записал бы в виде: 
. Числу 602 = 3600 соответствует третий шестидесятиричный разряд и т. д. Но самое замечательное, что таким же образом вавилоняне изображали и дроби. В числе, следовавшем за числом единиц, каждая единица обозначала 1/60, в следующем за ним числе — 1/3600 и т. д. В современной десятичной записи мы отделяем целую часть от дробной точкой или запятой. Чем же отделяли целую часть от дробной вавилоняне? Ничем! Число 
могло с равным успехом обозначать и полтора и девяносто. Та же неопределенность имела место и в записи целых чисел: числа n, n × 60, n × 602 и т. д. были неотличимы. Множители или делители, кратные шестидесяти, надо было добавлять по смыслу. Так как 60 — довольно большое число, это к особенным неприятностям не приводило.
Сравнивая вавилонскую позиционную систему с современной, мы видим, что неопределенность в множителе 60 — результат отсутствия знака нуль, который мы приписали бы нужное число раз в конце целого числа или начале дробного. Другим результатом отсутствия нуля является еще более серьезная неопределенность в интерпретации числовой записи, которая соответствует тому случаю, когда мы ставим нули в промежуточных разрядах. В самом деле, как отличить в вавилонской записи число 3601 = 1 × 602 + 0 × 60 + 1 от числа 61 = 1 × 60 + 1? Оба эти числа изображаются двумя единицами. Иногда неопределенность такого рода устранялась путем отодвижения чисел друг от друга с оставлением свободного места для недостающего разряда. Но этот метод не применялся систематически и во многих случаях большой пробел между числами ничего не означал. В астрономических таблицах эпохи Селевкидов встречается обозначение отсутствующего разряда с помощью знака, аналогичного нашей точке (разделитель фраз). В древневавилонскую эпоху ничего подобного мы не находим. Как же умудрялись древние вавилоняне избегать путаницы?