Как же создаются и развиваются теории? Как и все в мире, по методу проб и ошибок. Если есть отправная точка, то, начиная от нее, человек принимается сооружать языковые конструкции и исследовать, что у него получилось. Фазы конструирования и исследования постоянно сменяют друг друга: конструкция порождает исследование, исследование порождает новые конструкции.
Отправной точкой арифметики является понятие числа (целого). Аспект действительности, который отражает это понятие таков: отношение целого к его частям, способ разложения целого на части. Ту же самую мысль можно выразить и с противоположной стороны: число — способ объединения частей в целое, т. е. в некое множество (конечное). Два числа считаются тождественными, если части (элементы множества) можно поставить во взаимно однозначное соответствие; в установлении этого соответствия и состоит счет. Очевидно, однако, что одних чисел мало для теории, необходимы еще действия над ними — элементы функционирования модели, преобразования L1 → L2. Возьмем два числа n и m и представим их схематически как два способа разложения целого на части (рис. 9.6,a).
Как из этих двух чисел получить третье, т. е. третий способ разложения целого на части? Сразу приходит на ум два способа, которые можно назвать параллельным и последовательным соединением разложений. При параллельном способе оба целых образуют в качестве частей новое целое (рис. 9.6,b). Это разложение (число) мы назовем суммой двух чисел. При последовательном способе мы берем одно из разложений и каждую его часть разлагаем в соответствии с другим разложением (рис. 9.6,c). Новое число называется произведением. Оно не зависит от порядка производящих чисел. Это очень хорошо видно, если интерпретировать действия над числами не как соединение разложений, а как образование нового множества. Сумма есть, очевидно, результат слияния двух множеств в одно (объединение множеств). Произведение имеет своим прообразом множество сочетаний любого элемента первого множества с любым элементом второго (такое множество называется в математике прямым произведением множеств). Связь этого определения с предыдущим можно проследить таким образом. Пусть первое разложение делит целое A на части a1, a2, ..., an, второе делит B на части b1, b2, …, bm. Сделав первое разложение, пометим буквами ai полученные части. Разлагая каждую часть второго на части bi сохраним первую букву и добавим вторую. Значит, на каждой части результата будет стоять aibj и все эти сочетания будут разные. Подходы от целого к части и от части к целому дополняют друг друга. Из рис. 9.6,c легко увидеть также, что умножение можно свести к повторному сложению.
Конечно, древний человек, создавая арифметику, был далек от этих рассуждений. Но ведь и лягушка не знала, что ее нервная система должна быть устроена по иерархическому принципу! Важно, что это знаем мы.
Имея языковые объекты, изображающие числа, и умея производить над ними сложение и умножение, мы уже получаем теорию, дающую нам работающие модели действительности. Разберем простейший пример, поясняющий схему на рис. 9.5.