Приведем пример более сложной задачи египетских времен.
Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть 1/2 + 1/4 стороны первого квадрата, имеют вместе площадь 100. Вычисли мне это.
Решение в современных обозначениях:
x2 + (3/4 x)2 = 100, (1 + 9/16) x2 = 100,
5/4 x = 10, x = 8, 3/4 x = 6,
Описание решения в папирусе:
Возьми квадрат со стороной 1 и возьми 1/2 + 1/4 от 1, т. е. 1/2 + 1/4 в качестве стороны второй площади. Помножь 1/2 + 1/4 на самое себя, это дает 1/2 + 1/16. Поскольку сторона первой площади взята за 1, а второй за 1/2 + 1/4, то сложи обе площади вместе; это дает 1 + 1/2 + 1/16. Возьми корень отсюда: это будет 1 + 1/4. Возьми корень из данных 100: это будет 10. Сколько раз входит 1 + 1/4 в 10? Это входит 8 раз.
Дальше текст не сохранился, но конец очевиден: 8 × 1 = 8 — сторона первого квадрата, 8 × (1/2 + 1/4) = 6 — второго.
Египтяне умели решать только линейные и простейшие квадратные уравнения с одним неизвестным. Вавилоняне продвинулись гораздо дальше. Вот пример задачи из вавилонских текстов.
Площади двух моих квадратов я сложил: 25 25/60. Сторона второго квадрата равна 2/3 стороны первого и еще 5.
Далее следует совершенно правильное ее решение. Эта задача эквивалентна системе уравнений с двумя неизвестными:
x2 + y2 = 25 25/60, y = 2/3 x + 5.
Вавилоняне умели решать полное квадратное уравнение
x2 ± ax = b,
кубические уравнения
x3 = a и x2 (x + 1) = a,
системы уравнений, подобные приведенной выше, а также вида
x2 ± y = a, xy = b.
Кроме того, они пользовались формулами
(a + b)2 = a + 2ab + b2 и (a + b)(a - b) = a2 - b2,
умели суммировать арифметические прогрессии, знали суммы некоторых числовых рядов и числа, которые впоследствии подучили название пифагоровых (такие целые числа x, y, z, что х2 + у2 = z2).
Место древнего Египта и Вавилона в истории математики можно определить следующим образом: в этих культурах впервые появилась формула. Под формулой мы понимаем не только буквенно-цифровое выражение современного алгебраического языка, но вообще всякий языковый объект, являющийся точным (формальным) предписанием, как производить преобразование L1 → L2 или какие-либо вспомогательные преобразования в рамках языка. Формулы представляют собой важнейшую часть любой развитой теории, хотя, конечно, не исчерпывают ее, ибо в теорию входит еще семантика языковых объектов Li. Утверждение о связи между величинами сторон в прямоугольном треугольнике, содержащееся в теореме Пифагора, — это формула, если даже оно выражено словами, а не буквами. Типовая задача с описанием хода решения («делай так!») и с примечанием, что числа могут быть произвольны (это может быть не высказано, но подразумеваться), — это тоже формула. Именно такие формулы и дошли до нас в египетских папирусах и на вавилонских глиняных табличках.
1 См. замечания И.Н. Веселовского к переводу книги: Ван дёр Варден Б. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиэ, 1959.
2 C небольшими сокращениями.
3 Этот отрывок дошел до нас через Прокла (V в.н.э) — комментатора Евклида.
Глава 10. От Фалеса до Евклида
Ни в египетских, ни в вавилонских текстах мы не находим ничего, что хотя бы отдаленно было похоже на математическое доказательство. Понятие о доказательстве ввели греки, и это является их величайшей заслугой. Какими-то наводящими соображениями при получении новой формулы люди, очевидно, пользовались и раньше, мы даже приводили пример грубо неверной формулы (для площади неправильных четырехугольников у египтян), явно полученной из внешне правдоподобных «общих соображений». Но только греки стали относиться к этим наводящим соображениям с той серьезностью, которой они заслуживают, стали анализировать эти соображения с точки зрения их убедительности и ввели принцип, согласно которому каждое утверждение, касающееся чисел и фигур (формула), за исключением лишь небольшого числа, должно быть доказано, выведено убедительным, не допускающим сомнений образом из этих «совершенно очевидных» истин. Неудивительно, что именно греки с их демократическим общественным строем создали учение о математическом доказательстве. Споры и доказательство играли важнейшую роль в жизни граждан греческого города-государства (полиса). Понятие о доказательстве уже существовало, оно было общественно значимой реальностью. Осталось только перенести его в область математики, что и было сделано, едва греки познакомились с достижениями древних восточных цивилизаций. Сыграло здесь роль, надо полагать, и то положение молодого любознательного ученика, в котором оказались греки по отношению к египтянам и вавилонянам — своим старшим и не всегда согласным друг с другом учителям. В самом деле, вавилоняне определяют площадь круга по формуле 3r2, а египтяне по формуле (8/9 2r)2 . Где же истина? Здесь есть о чем подумать и поспорить.