Об этом рассказывают дошедшие до нас предметы материальной деятельности людей палеолита, той эпохи, ко времени которой относится зарождение предыстории математики. По этим памятникам материальной культуры древности видно, что возникновение потребности оперировать «математическими» понятиями и совершать «математические» действия было обусловлено потребностями производственного, социального характера.
В процессе производства орудий труда человек постоянно вынужден был решать «математические» задачи. Он должен был изготовлять орудие определенной формы, определенных размеров, решать, как из исходного сырья получить возможно большее количество полезных изделий. Для решения этих задач палеолитический человек должен был иметь представление об идеальной форме будущего орудия, уметь сравнивать результаты своего труда с идеальным образцом, соотносить в количественном отношении одни материальные формы с другими, целое с частью и т. д. Так рождались первые «математические» понятия и действия, истоками своими уходившие в технологические операции по производству орудий труда.
На развитие представлений о количестве и числе свое влияние оказали и другие стороны социальной жизни первобытного человека. Потребность в простейших вычислениях обусловливалась также необходимостью долговременного поддержания огня, которая вынуждала палеолитического человека решать «арифметическую» задачу определения необходимого для определенного периода времени количества топлива. Распределение совместно добытой пищи, обеспечение членов палеолитической общины жильем, одеждой, орудиями труда - все это требовало умения производить в своеобразной форме «пересчет». В ходе такого «пересчета» устанавливалось взаимное однозначное соответствие между предметами, орудиями труда, шкурами животных, продуктами питания и членами рода, общины.
Эти и многие другие производственные и социальные процессы обусловили возникновение первоначальных математических понятий и действий, их дальнейшее развитие. Так в процессе социальной жизни, материального производства вырастала у человека потребность считать, вычислять и измерять время, пространство, количество и т. д.
Доказательством этому служит и «фило-» и «онтогенез» математических понятий и действий. Наибольший интерес в этом отношении представляет анализ генезиса понятия числа, представлений о числительных. Умение определять количество предметов, т. е. считать, было присуще уже людям эпохи нижнего и среднего палеолита, но в то время еще не сформировались числовые числительные. Появление счета посредством применения числе как средств счета, как отвлеченного отношения какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу, зарождается только в эпоху верхнего палеолита.
Первоначально же числа и объекты счета в сознании первобытного человека сливались друг с другом, а счет предков являл собой непосредственное восприятие «численности» как стороны качества совокупности предметов наряду с их формой, цветом и другими свойствами. Это был как бы «зрительный» счет, счет «осязательный». Такому счету соответствуют не числа как средства счета, как числа-понятия, а числа-свойства, числа-качества конкретных совокупностей предметов с только еще намечающимися порядковыми соотношениями.
Такой счет можно было встретить еще в XIX в, у северных чукчей — охотников и оленеводов, когда они узнавали о пропаже одного из нескольких сотен оленей, на пересчитывая стадо, но зная «в лицо» каждого оленя.
На первых этапах развития понятий о числе они привязывались первобытным человеком непосредственно к самим, ими обозначаемым, материальным объектам и предметам природы, общества. Они воспринимались, и иначе и быть не могло, не как мистические сверхъестественные сущности, магические субстанции, а как обычные качества и свойства предметов.
В процессе изучения этнографического материала к этому выводу вынужден был прийти и известный французский ученый Л. Леви-Брюль, отстаивавший в своих трудах положение о мистическом характере мышления первобытных людей, в том числе и о мистическом характере генезиса первоначальных математических представлений. Он писал следующее; «В обществах, стоящих на самом низком уровне, числа (свыше двух или трех) являются еще недифференцированными, следовательно, они не фигурируют отчетливо в качестве чисел в коллективных представлениях. Так как они не служат объектом абстракции, хотя бы той выделяющей абстракции, которая свойственна пралогическому мышлению, то числа эти никогда не представляются сами по себе. А так как (что особенно важно) они не имеют соответствующего числительного, то они не могут играть роли «конденсаторов» мистических свойств, которую они играют в коллективных представлениях обществ более высокого типа»[38].