Нам остается лишь признать тот факт, что в дискретной метрике световой конус в пространстве Минковского является лишь асимптотическим приближением к реальной картине. Фактически же этот конус должен быть единичным, равнобочным гиперболоидом. Его также называют циркулярным гиперболоидом, поскольку он получается вращением гиперболы вокруг той или иной оси. Гиперболоид допускает две формы: однолистную и двулистную.
Рис.11
Если в пространстве Минковского за ось вращения принимается стрела времени, то мы получаем 2-листный гиперболоид, поскольку именно он в этом случае является t-подобным. При этом его внешность есть 1-листный s-подобный гиперболоид, полученный вращением вокруг пространственной оси, ассоциированной с расслоением Вселенной по стратам W.
В релятивизме нас в первую очередь интересует именно 2-листный несвязный гиперболоид. Его называют еще квази-сферой (но не псевдосферой!), поскольку он обладает некоторыми общими свойствами с ней. В частности, его Гауссова кривизна оказывается положительной, как и у сферы, при том что кривизна «s-подобного» гиперболоида отрицательна. Более обще: в 4-мерном пространстве (w, x, y, z) две конические гиперповерхности, представленные тождественными квадратичными формами с разницей лишь в знаке, при пересечении их гиперплоскостью w = r, дают сферу и гиперболоид соответственно.
В литературе именно «s-подобный» гиперболоид принято связывать с моделями открытой параболической Вселенной, подчиняющейся геометрии Лобачевского с отрицательной кривизной. В данном представлении такой геометрией может обладать только нелокальный мир Маха и Бома, в котором все связано со всем. В релятивистской (причинной) Вселенной, берущей начало в Большом взрыве и динамически развивающейся внутри t-подобного гиперболоида, геометрия должна быть Римановой, т.е. асимптотически сферической. При этом классически прямая геометрия Евклида («коническая») оказывается сингулярной, т.е. вырожденной.
Унитарная квази-сфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца O(1, 3). Это связано с тем, что кватернионы, рассматриваемые как алгебра над множеством действительных чисел, образуют 4-мерное вещественное векторное пространство, позволяющее получить метрику Лоренца (2.1), которая имеет сингулярность в пределе (4.9). Условие нормировки мы выразили фильтрацией (4.10). Математически замечательным здесь оказывается то, что если ввести унитарную норму на факторизованном пространстве Минковского M/t, подобную норме в комплексной плоскости КМ, то произойдет неявным образом переход к дискретной метрике, при которой континуальные дифференциалы метрики Лоренца действительно станут физическими квантами, т.е. их олицетворением. Ведь базисные векторы уже есть по сути нормированные дифференциалы.
В аналитической геометрии квадратичное уравнение такого гиперболоида отличается от уравнения светового конуса лишь тем, что в нем появляется константная единица, аналогичная унитарной норме вектора состояния. Т.о. Лоренцев интервал (2.1), т.е. метрика с t-подобной сигнатурой в дискретной записи должна иметь вид:
(7.7)
Понятно, что в КМ эта неустранимая единица присутствует в виде постоянной Планка в принципе неопределенности. Она связана с квантом времени, выраженным через дискретный (и формально обратимый) оператор Н. Т.о. единица из (7.8) переходит в область действия волновой функции с преобразованием декартовых координат к полярным координатам для унитарной сферы. В СТО и ОТО она приобретает смысл лишь как нормировочная поправка на граничных условиях и связана с квантом времени, так что элемент геодезической не может быть меньше этой величины:
(7.8)
Здесь dt и ds есть физические кванты времени и пространства (Планковские единицы) в отличие от интервала dS и координаты dt в метрическом смысле. Физический и/или психофизический смысл этой единицы в метрике Лоренца (2.1) такой же, каким он должен быть для КМ: поправка заключается в том, что время вмешивается во все процессы, смещая их на квант времени и спасая нас тем самым от сингулярности. При этом формально можно вернуться от метрики гиперболоида к канонической метрике конуса (2.1):