Транзитивные множества составляют особый класс теории множеств. Их можно назвать многослойными или «вертикальными» в отличие от обычных «горизонтальных» множеств, которыми пользуются геометрия и топология. «Горизонтальное» классическое множество Х есть совокупность элементов х, с каждым из которых оно связано отношением принадлежности: . Если Y состоит из некоторого количества этих элементов, оно является подмножеством Х. Это выражается отношением включения. Этих понятий достаточно, чтобы сформулировать основы геометрии и топологии. При этом элементы пространства становятся неделимыми точками.
В транзитивных множествах элементы могут сами состоять из элементов, так что образуются –цепи принадлежности, которые естественным образом разбивают множество на ранги. Обычное множество Х состоит лишь из двух рангов. Координаты и метрики закладываются на первом ранге, а изучаются – на втором как отношения подмножеств и операции с ними. Топология поднимается на третий ранг, формируя булеан Р(Х) подмножеств Х и работая с ним. Заметим, что булева алгебра коммутативна (симметрична) относительно сложения и умножения, но соответствующие этим операциям логические связки дизъюнкции V и конъюнкции &, согласно таблиц истинности, легко заменить импликацией , которая уже не является коммутативной. Это выражается в том, что булева алгебра моделируется решеткой, т.е. множеством с выделенным направлением, на которой можно условно определить стрелу времени. Т.о. с помощью формальных процедур в логике можно получить то, что в физике называется «спонтанным нарушением симметрии».
Действительно, если выстраивается некая дедуктивная цепь:
то невозможно получить инверсию этой цепи:
Наша ментальная логика так же необратима, как и наша физическая причинность. Именно эта необратимость и отражена в термодинамике. Но что общего между дедукцией, детерминизмом и термодинамикой?
Если теперь мы вернемся к расслоению Вселенной, то получим интересный результат, а именно: «горизонтальное» отношение включения в транзитивном множестве является пространственным, а вот отношение принадлежности можно считать временным. Достаточно принять определение , чтобы транзитивное множество стало подобно причинному в световом конусе будущего, а при обратном определение получится причинное множество в конусе прошлого. Пространство релятивизма отличается от классических евклидовых и римановых пространств именно тем, что, при введении координаты времени в геометрию, оно становится «вертикальным».
Поэтому гораздо правильнее представлять причинное множество в пространстве Минковского как –цепи, исходящие из главенствующего события. Т.о. с одной стороны причинное множество лежит внутри светового конуса (точнее, внутри гиперболоида), а с другой стороны оно состоит из –цепей, которые пронизывают класс s-подобных страт. Любые две точки имеют общего «предка» и могут иметь общих «потомков». Но если они находятся на одном ранге, то для взаимодействия им нужно время, так что в самом ранге можно говорить только о нелокальных корреляциях. Релятивистская Вселенная по «горизонтали» фиктивна, ибо события внутри нее не могут быть связаны причинно, а только объединены в «тела», и динамическое значение имеет только «вертикальное» время.
Транзитивное множество имеет структуру фильтра. Описывать транзитивные множества подробно нет нужды, потому что они достаточно хорошо представляются обычными «горизонтальными» решетками. Следует лишь помнить, что когда мы говорим о решетках, мы говорим о транзитивных множествах без обычных геометрических ассоциаций, так что классическое отношение порядка < всегда является «t-подобным» и поэтому причинным.