Результат Геделя более всего замечателен тем, что вводит концепцию логической неполноты. Эта неполнота становится очевидной для любой формальной теории T(H) с аксиоматической базой Н, поскольку любая ее аксиома, являющаяся, несомненно, истинной для T(H), не может быть выведена в ней, а если выводима, то есть лишь следствие других аксиом, на которые и переносится вся тяжесть ответственности. Разумеется, тут нужно отказаться от банальной тавтологии вида : , ведь тогда любую теорию можно свести к уравнению 0 = 0.
Такая трактовка неполноты наиболее наглядна. Для строго дедуктивной теории все ее утверждения полностью описываются набором аксиом. Можно написать: . Допустим для простоты, что Н минимизирована в том смысле, что все аксиомы в ней независимы друг от друга, так что только на них ложится вся ответственность. Объединим все эти аксиомы конъюнкцией в одну формулу Н* (ее можно уподобить «великому объединению» в физике, целью которой является поиск единого аксиоматически определенного физического поля, описывающего все известные взаимодействия: эл.-магнитное, сильное, слабое и гравитационное). Формула Н* выразима в T(H). При этом она формально задает класс выводимых формул, т.е. определяет интуитивное понятие «истинности» для теории, но она не выводима в T(H) и, естественно, неопровержима при условии ее непротиворечивости. Т.о. полнота теории, выраженная в рамках двузначной логики как требование выводимости этой формулы или ее отрицания
(9.7)
не имеет места.
Неполнота дедуктивности очевидным образом возвращает нас к логическим и временным петлям, благодаря которым нечто (высказывание или событие) может быть причиной самого себя. В свою очередь запрет на временные петли интуитивно равносилен теоретико-множественному запрету для множеств быть элементами самих себя: . В противном случае автоматически возникает парадокс Рассела (парадокс лжеца). При этом причину парадокса можно видеть и в актуализации всех множеств, как это происходит в континуум-гипотезе Кантора при выведении несчетности из идеи полного порядка (причинности). Теперь мы знаем, что все это связано воедино неполнотой самосознания. Т.о. еще одним логическим следствием теоремы о сингулярности является теоретико-множественный запрет для элементов принадлежать себе, поскольку в этом случае возникают бесконечно убывающие цепи принадлежности, запрещенные упомянутой ранее аксиомой фундирования:
Такая «бездонность» нежелательна для математики, порождая то самое Канторовское множество нулевой меры, построенное на бесконечном дроблении интервала. Применительно к физике это могло бы значить, что невозможны элементарные частицы и связанные с ними фундаментальные константы – постоянная Планка, элементарный заряд, скорость света и т.д., поскольку они должны делиться до бесконечности. Такую «бездонность» можно было бы интерпретировать и в качестве запрета на Большой взрыв как на точку отсчета. А в смысле тождества дедуктивности и детерминизма, такая неполнота интуитивно равносильна запрету на временные петли в пространстве Минковского, лежащему в основании определения причинного множества, как это выражено нами в (2.3). Леммы 6 и 7 гласят, что мгновенный покой присутствует всюду, а условием сингулярности (2.2) обладает любая точка пространства-времени. Понимая сингулярность как пустую дхарму, причинность как дедуктивность, а физический мир как мыслимое (математическое) пространство ПС, сформулируем следующее: