ости. Вы можете начать с вопроса, существует или нет наибольшее кардинальное число. Каждый класс предметов, который вы можете выбрать для упоминания, имеет некоторое кардинальное число. Последнее очень легко вытекает из определения кардинального числа как класса подобных классов, и вы склонны предполагать, что класс всех предметов, существующих в мире, имел бы столь много членов, сколько вообще разумно ожидать от класса. Обыкновенный человек предполагал бы, что вы не в состоянии получить класс больший, чем класс всех предметов, существующих в мире. С другой стороны, очень легко доказать, что если вы возьмёте выборки некоторых членов класса, осуществляя зги выборки любым возможным для вас подходящим способом, число различных выборок, которые вы сможете сделать, больше чем изначальное число членов. Это легко видеть на примере с малыми числами. Предположим, у вас есть класс как раз с тремя числами: а, Ь, с. Первая выборка, которую вы можете сделать, - это выборка, не имеющая членов. Следующая выборка: отдельно а, отдельно Ь, отдельно с. Затем, Ьс, са, ab, abc, в общем 8 (т.е. 23) выборок. Вообще говоря, если у вас есть п членов, вы можете получить 2" выборок. Очень легко доказать, что 2" всегда больше чем п, будет ли п конечным или же нет. Так вы находите, что общее число предметов в мире не является столь большим, как число классов, которые можно получить из этих предметов. Я прошу, чтобы вы принимали эти пропозиции как доказанные, поскольку нет времени переходить к доказательствам, но все они имеются в работе Кантора*. Следовательно, вы найдёте, что общее число предметов в мире никоим образом не является самым большим числом. Наоборот, существует иерархия чисел больших, чем данное. На первый взгляд, это, по-видимому, приводит вас к противоречию. Фактически, у вас есть совершенно точное арифметическое доказательство того, что на небесах или на земле имеется предметов меньше, чем грезится нашей философии. Последнее демонстрирует то, как философия делает успехи. Поэтому вы сталкиваетесь с необходимостью провести различие между классами и индивидами. Вы сталкиваетесь с необходимостью говорить, что класс, состоящий из двух индивидов, сам в свою очередь не является новым индивидом, и это должно быть разъяснено всеми способами; т.е. вы будете должны сказать, что втом смысле, в котором существуют индивиды, в этом самом смысле не верно сказать, что существуют классы. Смысл, в котором существуют классы, отличается от смысла, в котором существуют индивиды, потому что, если бы смысл в обоих случаях был одинаковым, мир, в котором есть три индивида и, следовательно, восемь классов, был бы миром, в котором имеется по крайней мере одиннадцать предметов. Как давным-давно указывали китайские философы, серая корова и гнедая лошадь составляют три предмета: предметами являются каждая из них, и, взятые вместе, они представляют собой другой предмет, а следовательно, всего три. Я перехожу теперь к противоречию, относящемуся к классам, которые не являются членами самих себя. В общем то вы сказали бы, что не ждёте от класса, чтобы он был членом самого себя. Например, если вы возьмёте класс всех чайных ложек в мире, сам он не является чайной ложкой. Или, если вы возьмёте всех человеческих существ в мире, их целостный класс в свою очередь не является человеческим существом. Естественно, вы сказали бы, что не можете ожидать от всего класса предметов, чтобы сам он был членом этого класса. Но есть явные исключения. Если вы возьмёте, например, все вещи в мире, которые не являются чайными ложками, и создадите из них класс, этот класс (вы сказали бы) очевидно не будет чайной ложкой. И так со всеми отрицательными классами. И не только с отрицательными классами, ибо, если вы посчитаете на время, что классы являются предметами в том же самом смысле, в котором предметами являются предметы, вы тогда должны будете сказать, что класс, состоящий из всех предметов в мире, сам является предметом мира, а стало быть, этот класс является членом самого себя. Конечно, вы подумали бы, ясно, что класс, состоящий из всех классов в мире, сам является классом. Я думаю, большинство людей должны чувствовать склонность к такому предположению, и, следовательно, вы здесь получили бы случай класса, являющегося членом самого себя. Если есть какой-то смысл в том, чтобы спросить, является ли класс членом самого себя или же нет, тогда конечно во всех случаях обычных классов повседневной жизни вы найдёте, что класс не является членом самого себя. Соответственно этому вы можете перейти к образованию класса всех тех классов, которые не являются членами самих себя, и, сделав это, вы можете спросить себя, является ли данный класс членом самого себя или же нет? Предположим прежде, что он является членом самого себя. В этом случае, он представляет собой один из тех классов, которые не являются членами самих себя, т.е., он не является членом самого себя. Предположим затем, что он не является членом самогосебя. В этом случае он не представляет собой один из тех классов, которые не являются членами самих себя, т.е. он есть один из классов, которые являются членами самих себя, т.е. он является членом самого себя. Следовательно, любая гипотеза, что он является или что он не является членом самого себя, приводит к его противоречивости. Если он является членом самого себя, то он не является членом самого себя, а если он не является членом самого себя, то он является членом самого себя. Это противоречие в высшей степени интересно. Вы можете модифицировать его форму; некоторые формы модификации обоснованы, а некоторые нет. Однажды я предложил форму, которая не была обоснованна, а именно, вопрос о том, должен ли брадобрей бриться сам, или же нет. Вы можете определить брадобрея как того, 'кто бреет всех тех, и только тех, кто не бреется сам'. Вопрос в том, бреется ли сам брадобрей? В этой форме противоречие не слишком трудно разрешить. Но в нашей предыдущей форме, я думаю ясно, вы сможете обойти его, только заметив, что в целом вопрос, является ли класс членом самого себя или же нет, является бессмысленным, т.е., что не класс является или не является членом самого себя, и что даже не правильно говорить подобное, поскольку в целом эта словесная конструкция есть только набор звуков, не имеющий значения. Последнее имеет отношение к тому факту, что классы, как я собираюсь показать, являются неполными символами в том же самом смысле, в котором неполными символами являются дескрипции, о чём я вёл речь прошлый раз; вы высказываете вздор, когда спрашиваете себя, является или нет класс членом самого себя, поскольку в любом полном высказывании того, что подразумевается пропозицией, которая выглядит как пропозиция о классах, в этом высказывании вы вообще не найдёте никакого упоминания о классе. Если высказывание о классах должно быть значимым, а не чистым вздором, абсолютно необходимо, чтобы его можно было перевести в форму, которая вообще не упоминает классов. Такой тип высказываний, как 'Такой-то и такой-то класс является или не является членом самого себя', не способно к переводу такого рода. Последнее аналогично тому, что я говорил о дескрипциях: символ для класса является неполным символом; на самом деле он не обозначает частей пропозиции, в которых встречается в качестве символа, но при правильном анализе этих пропозиций, данный символ распадается и исчезает. Есть ещё одно из противоречий, самое древнее, которое я также могу упомянуть, высказывание Эпименида, что 'Все критяне лжецы'. Эпименид - это человек, который безостановочно проспал шестьдесят лет, и, я верю, очнувшись от дремоты, он сделал замечание, что все критяне были лжецами. Противоречию может быть придана более простая форма; если человек высказывает утверждение: 'Я лгу', лжёт ли он, или же нет? Если он лжёт, что и есть как раз то, что он говорит, то он высказывает истину, а не лжёт. Если, с другой стороны, он не лжёт, тогда, очевидно, он говорит истину, утверждая, что он лжёт, а, стало быть, он лжёт, поскольку он правильно говорит о том, что делает. Это древняя загадка, и никто не рассматривал её кроме как шутку до тех пор, пока не было обнаружено, что она должна иметь отношение к таким важным и практическим проблемам, как существует ли наибольшее кардинальное или ординальное число. Тогда, наконец, с этими противоречиями стали обращаться серьёзно. Человек, который говорит: 'Я лгу', на самом деле утверждает: 'Существует пропозиция, которую я утверждаю и которая является ложной'. Это предположительно то, что вы подразумеваете под ложью. Для того чтобы получить противоречие, вы должны взять всё его данное утверждение как одну из пропозиций, к которым применимо его утверждение; т.е. когда он говорит: 'Существует пропозиция, которую я утверждаю и которая является ложной', слово 'пропозиция' должно интерпретироваться как включённое в пропозиции его утверждения в том смысле, что он утверждает ложную пропозицию. Поэтому вы должны предполагать, что у вас имеется определённая общность, а именно, общность пропозиций, но эта общность содержит члены, которые могут быть определены только в терминах самих себя. Потому что когда вы говорите: 'Существует пропозиция, которую я утверждаю и которая является истинной', последнее представляет собой высказывание, чьё значение может быть получено только посредством ссылки на общность пропозиций. Вы не говорите, какая среди всех пропозиций, имеющих место в мире, есть та, которую вы утверждаете и которая является ложной. Следовательно, предполагается, что общность пропозиций простирается перед вами, и что какая-то одна, хотя вы и не говорите какая, утверждается ложно. Совершенно ясно, что вы впадаете в порочный круг, если прежде предполагаете, что эта общность пропозиций простирается перед вами, так что вы можете, не выбирая какой-либо определённой пропозиции, сказать: 'Какая-то пропозиция из этой общности утверждается ложно'; само это утверждение является одним из общности, из которой вы выбираете. Данная ситуация в точности та, которая у вас есть в парадоксе лжеца. Прежде всего вами предполагается заданным множество пропозиций, и вы утверждаете, что некоторая из них утверждается ложно, затем само это утверждение преобразуется в одну из пропозиций данного множества, так что, очевидно, ошибочно предполагать,что это множество уже здесь в своей полноте. Если вы собираетесь что-то говорить обо 'всех пропозициях', вы должны, прежде всего, определить пропозиции каким-то таким способом, чтобы исключить те из них, которые указывают на все пропозиции уже определённого типа. Из этого следует, что слово 'пропозиция' в том смысле, в котором мы обычно пытаемся его использовать, является бессмысленным, и что мы можем разделить пропозиции на множества и можем высказывать утверждения о всех пропозициях в данном множестве, но такие пропозиции сами не будут членами этого множества. Например, я могу сказать: 'Все атомарные пропозиции являются либо истинными, либо ложными', но само последнее не будет атомарной пропозицией. Если вы без ограничений попытаетесь сказать: 'Все пропозиции являются либо истинными, либо ложными', вы утверждаете вздор, потому что, если бы это не было вздором, оно само должно было бы быть пропозицией и одной из тех пропозиций, которые включаются в свой собственный объём, а следовательно, закон исключенного третьего, как он провозглашён только что, является бессмысленным набором звуков. Вы должны расчленить пропозиции на различные типы, и можете начать с атомарных пропозиций или, если вам нравится, можете начать с тех пропозиций, которые вообще не указывают на множество пропозиций. Затем следующими вы возьмёте те, которые указывают на множества пропозиций той разновидности, которые вы брали первыми. Те, что указывают на множества пропозиций первого типа, вы можете назвать вторым типом, и т.д. Если вы примените это к человеку, который говорит: 'Я лгу', вы найдёте, что противоречие исчезло, поскольку он должен будет сказать, каким типом лжеца он является. Если он говорит: 'Я утверждаю ложную пропозицию первого типа', фактически это высказывание, поскольку оно указывает на общность пропозиций первого типа, относится ко второму типу. Следовательно, не верным будет то, что он утверждает ложную пропозицию, и он остаётся лжецом. Сходным образом, если бы он говорил, что утверждал ложную пропозицию 30,000-ного типа, последнее было бы утверждением 30,001-го типа, поэтому, он всё ещё оставался бы лжецом. И контраргумент, доказывающий, что он к тому же не был лжецом, разрушается. Вы можете сформулировать, что общность любой разновидности не может быть членом самой себя. Последнее применимо к тому, что мы говорим о классах. Например, общность классов в мире не может быть классом в том же самом смысле, в котором последние являются классами. Так мы должны различать иерархию классов. Мы будем начинать с классов, которые всецело составлены из индивидов: это будет первым типом классов. Затем мы перейдём к классам, членами которых являются классы первого типа: это будет второй тип. Затем, мы перейдём к классам, членами которьк являются классы второго типа: это будет третий тип^ и т.д. Для класса одного типа никогда невозможно быть или не быть тождественным с классом другого типа. Это применимо к вопросу, который я обсуждал немного ранее, относительно того, как много предметов существует в мире. Предположим, в мире имеется три индивида. Тогда, как я объяснял, существует 8 классов индивидов. Классов классов индивидов будет 28 (т.е. 256), а классов классов классов индивидов 225 , и т.д. Вы не получите какого-то вырастающего отсюда противоречия, когда задаёте себе вопрос: 'Существует или нет наибольшее кардинальное число?', ответ всецело зависит от того, ограничиваетесь ли вы одним типом, или же нет. В рамках любого заданного типа наибольшее кардинальное число существует, а именно, число объектов данного типа, но вы всегда способны ПОЛУЧИТЬ большее число, переходя к следующему типу. Следовательно, нет столь большого числа, но вы можете ПОЛУЧИТЬ большее число подходящего высокого типа. Здесь у вас есть две стороны этого спора: одна, когда тип задан, и другая, когда тип не задан. Ради краткости я говорил так, как если бы все эти различные типы предметов существовали реально. Конечно, это чепуха. Существуют индивиды, но при переходе к классам, классам классов и классам классов классов говорят о логических фикциях. Когда я говорю, что таких предметов нет, это снова некорректно. Бессмысленно сказать: 'Существуют такие предметы', в том же самом смысле слова 'существуют', в котором вы можете сказать: 'Существуют индивиды'. Если я говорю: 'Существуют индивиды' и 'Существуют классы', два выражения 'существуют' в этих двух пропозициях должны будут иметь различные значения, и если они имеют подходящие различные значения, обе пропозиции могут быть истинными. Если, с другой стороны, слово 'существует' используется в обеих пропозициях в одинаковом смысле, тогда по крайней мере одно из этих высказываний должно быть вздором, не ложью, но вздором. Тогда возникает вопрос, что же представляет собой тот смысл, в котором можно сказать: 'Существуют классы', или , другими словами, что же вы подразумеваете высказыванием, в которое, как кажется, входят классы? Прежде всего, что предпочли бы вы сказать о классах? Как раз то же самое, что требуется вам для того, чтобы говорить о пропозициональных функциях. Вы хотите сказать о пропозициональной функции, что она иногда является истинной. Это то же самое, как если о классе говорят, что онимеет члены. Вы хотите сказать, что это истинно в точности для 100 значений переменных. Последнее одинаково с тем, когда о классе, говорят, что он имеет сто членов. Всё то, что вы хотите сказать о классах, одинаково с тем, что вы хотите сказать о пропозициональных функциям исключая случайные и неуместные лингвистические формы, однако с определёнными оговорками, которые теперь должны быть объяснены. Возьмём, например, две пропозициональные функции, такие как 'х - человек', 'х - беспёрое, двуногое'. Обе они формально эквивалентны, т.е. когда одна из них является истинной, таковой является и другая, и наоборот. Кое-что из того, что вы можете сказать о пропозициональной функции, не будет необходимо оставаться истинным, если вы на её место подставите другую формально эквивалентную пропозициональную функцию. Например, пропозициональная функция 'у - человек' одна из тех, что должны иметь дело с понятием человечество. Последнее не верно для 'х -беспёрое, двуногое'. Или, если вы говорите: 'Тот-то и -тот-то утверждает, что такой-то и такой-то является человеком', сюда входит пропозициональная функция 'х - человек', но 'х - беспёрое, двуногое' - нет. Есть много такого, что вы можете сказать о пропозициональной функции, которая не была бы истинной, если бы вы подставили другую формально эквивалентную пропозициональную функцию. С другой стороны, любое высказывание о пропозициональной функции, которая остаётся истинной или остаётся ложной, в зависимости от обстоятельств, когда вы подставляете вместо неё другую формально эквивалентную пропозициональную функцию, может рассматриваться как относящаяся к классу, который ассоциируется с пропозициональной функцией. Я хочу, чтобы вы брали слова может рассматриваться в строгом смысле. Я использую их вместо является, поскольку является было бы неверным. 'Экстенсиональные' высказывания о функциях суть те, что остаются истинными, когда вы подставляете любую другую формально эквивалентную функцию, и они суть те, что могут рассматриваться как относящиеся к классам. Если у вас имеется любое высказывание о функции, которое не является экстенсиональным, вы всегда можете образовать из него нечто подобное высказыванию, которое является экстенсиональным, а именно, существует функция, формально эквивалентная рассматриваемой, относительно которой рассматриваемое высказывание является истинным. Это высказывание, искусственно образованное из того, с которого вы начинали, будет экстенсиональным. Оно всегда будет одинаково истинным или одинаково ложным для любых двух формально эквивалентных функций, и это производное экстенсиональное высказывание можег рассматриваться как соответствующее высказывание о связанном с ним классе. Так, когда я говорю, что 'Класс людей имеет такое-то количество членов', это означает: 'Существует такое-то количество людей в мире', последнее будет производно от высказывания, что 'х - человек' удовлетворяется таким-то количеством значений х, и для того, чтобы получить его в экстенсиональной форме, его полагают таким способом, что 'Существует функция формально эквивалентная функции "х - человек", которая является истинной для такого-то количества значений' х'. Последнее я бы определил как то, что имею в виду, говоря: 'Класс людей имеет такое-то количество членов'. Этим способом вы находите, что все формальные свойства, которые вам хотелось бы видеть у классов, все их формальные употребления в математике, могут быть получены без предположения, так сказать, что пропозиция, в которую символически входит класс, действительно содержит конституенту, соответствующую этому символу, и будучи правильно проанализированным, этот символ исчезнет тем же самым способом, как исчезают дескрипции, когда правильно проанализированы пропозиции, в которые они входят. При более обычном взгляде на классы имеются определённые трудности вдобавок к уже упомянутым нами, и которые разрешаются нашей теорией. Одна из них связана с нулевым классом, т.е. с классом, не имеющим членов, который трудно рассматривать на чисто экстенсиональной основе. Другая связана с единичным классом. С обычной точки зрения на классы, вы сказали бы, что класс, который имеет только один член, совпадал бы с самим этим членом. Последнее привело бы вас к страшным затруднениям, поскольку в данном случае этот один член является членом данного класса, а именно, самого себя. Возьмём, например, класс 'слушателей лекции в Гордон Сквер'. Очевидно, это класс классов и вероятно, это класс, имеющий только один член, и сам этот один член (до сих пор) содержит более одного члена. Стало быть, если бы вы должны были отождествить класс слушателей лекции в Гордон Сквер с единственным слушателем, имеющимся в Гордон Сквер, вам нужно было бы говорить как о том, что он имеет один член, так и о том, что он имеет двадцать членов, и вы впали бы в противоречие, поскольку этот слушатель имеет более одного члена, но класс слушателей в Гордон Сквер имеет только один член. Вообще говоря, если у вас имеется любое собрание многих объектов, образующих класс, вы в состоянии сформировать класс, у которого данный класс будет единственным членом, и класс, у которого данный класс является единственным членом, будет иметь только один член, хотя этот единственный член и будет содержать многочленов. Это одна из причин, почему вы должны отличать единичный класс от его единственного члена. Другая заключается в том, что если вы так не сделаете, то обнаружите, что класс является членом самого себя, а это вызывает возражение, как мы видели в данной лекции ранее. Я включил тонкости, связанные с тем фактом, что две формально эквивалентные функции могут быть различных типов. О способах трактовки этого вопроса смотрите Principia Mathematica, стр.20 и введение, раздел Ш. Я вовсе не сказал всего, что должен был сказать на этот счёт. Я намеревался углубиться в теорию типов немного далее. Теория типов на самом деле является теорией символов, а не вещей. В надлежащем логическом языке она была бы совершенно очевидной. Существующие неприятности вырастают из закоренелой привычки пытаться именовать то, что не может быть наименовано. Если бы у вас был надлежащий логический язык, вы бы не пытались этого делать. Строго говоря, наименованными могут быть только индивиды. В том смысле, в котором индивиды существуют, вы не в состоянии сказать истинно либо ложно, что существует что-то ещё. Слово 'существует' - это слово, обладающее 'систематической двусмысленностью', т.е. обладающее строго бесконечным числом разных значений, которые важно различать.