Введем следующие обозначения:
— количество i-ого продукта, произведенного на k-том предприятии, расходуемое для производства j-ого продукта на 
-м предприятии; i, j=1,…,m; k, 
=1,…,n.
— количество j-го продукта, произведенное на -м предприятии.
— общее количество j-го продукта, произведенное на всех n предприятиях.
— затраты живого труда на единицу j-ого продукта на -м предприятии.
— средние затраты живого труда на единицу j-ого продукта.
— индивидуальные затраты абстрактного труда (как живого, так и общественного) на -м предприятии на производство единицы j-ого продукта, определяющие индивидуальную стоимость единицы j-ого продукта.
— общественно-необходимые (средние) затраты труда на производство единицы j-го продукта, определяющие стоимость единицы j-го продукта.
В принятых обозначениях уравнения, связывающие индивидуальные и средние затраты труда, примут следующий вид:
, j = 1,…m; 
= 1,…,n.
, j = 1,…,m.
Последние m уравнений записаны, исходя из определения о. н. з. т. как средних затрат. Первые mn — исходя из определения полных затрат как суммы затрат живого и овеществленного труда. Система содержит mn+m уравнений и mn+m неизвестных, следовательно, с помощью нее можно одновременно определить как величины индивидуальных стоимостей продуктов 
, так и стоимостей 
.
Нетрудно видеть, что сложив уравнения первой группы по l и воспользовавшись последними m уравнениями и уравнениями 
, означающими, что 
— средние затраты живого труда на единицу j-го продукта, j = 1,…,m, мы получим обычные уравнения для определения полных затрат, где
В самом деле:
, j = 1,…,m,
но
и 
,
так что получаем следующее уравнение:
или 
,
где
.
Подчеркнем, что аппарат балансовых уравнений для исчисления полных затрат труда является адекватным трудовой теории стоимости благодаря тому, что о. н. з. т. определяются как средние затраты.
Рассмотрим теперь, в каком отношении к трудовой теории стоимости стоит математический аппарат теории предельной полезности. Покажем, что этот аппарат не может дать доказательства того, что предельные полезности определяют стоимости продуктов, зато он может быть использован для изображения противоположного влияния — влияния стоимости на величину предельной полезности индивидуального потребителя и поэтому применим в марксистской политэкономии на стадии перехода от сущностных к являющимся категориям. Этот аспект в марксистской политической экономии очень важен, и те авторы, которые фактически не различают субстанцию и явление (например, цитированный выше Н. Я. Петраков по существу не различает стоимость и цену), обедняют экономический анализ и закрывают себе дорогу к исследованию экономических явлений во всей их сложности.
Характерно, что попытки математического оформления идей теории предельной полезности быстро привели к отказу от некоторых весьма серьезных ее притязаний. Если Джевонс, который наряду с Вальрасом считается основателем математической школы политической экономии, дает еще причинное истолкование выведенному им равенству предельной полезности и цен [109], то в настоящее время лишь очень немногие экономисты продолжают придерживаться этого истолкования.
Применение математики сделало настолько очевидным полное отсутствие оснований для такого истолкования, что экономисты не претендуют более на выяснение причинной зависимости между предельными полезностями и ценами и ограничиваются функциональной. Однако злоключения теории предельной полезности, связанные с разработкой математического аппарата для выражения ее идей, на этом не кончаются.
Воспользовавшись этим аппаратом, легко показать, что при тех предпосылках, которые делаются в неоклассической политической экономии, причинную взаимосвязь можно обнаружить, но только противоположную той, которую выдвигали сторонники теории предельной полезности. Не предельные полезности определяют цены, а цены определяют предельные полезности и поведение потребителя, и, следовательно, именно социальными факторами определяется действие индивидуума на рынке, а не наоборот.
109
Jevans W. S. The theory of political economy. London, 1924 (первое издание в 1871 г.).