В подобном возражении самым интересным является его кажущаяся очевидность - при том, что опровергающие его факты общеизвестны. Например, с точки зрения античной математики наша современная арифметическая практика сплошь ошибочна, даже абсурдна. Посмотрим на выражения типа "3 -1", "(3)1/2", "(3)-2", "3 - 5" и т.д. Математика в своем историческом развитии превратила эти запрещенные выражения сначала в "допустимые частные случаи", а потом вообще создала совершенно новую практику. В "числах самих по себе" в "арифметике самой по себе" все это вовсе не содержалось. Можно представить себе, что развитие математической мысли пошло бы по другому пути, и тогда у нас были бы совсем другие практики следования арифметическим правилам.
Правило, взятое само по себе, не детерминирует своих применений. Это может показаться очевидным в случае таких, например, правил, как правила защиты диссертаций, когда любой соискатель, ознакомившись с инструкцией, тут же начинает узнавать у людей, прошедших эту процедуру, как принято следовать данной инструкции. Однако считается, что математическое правило по крайней мере должно быть сформулировано так, чтобы полностью определять свои применения, т.е. то, как надо ему следовать. А Витгенштейн в § 189 "Философских исследований" предлагает подумать над тем, как употребляется выражение "быть определяемым алгебраической формулой". Может быть, это означает, что люди обучены употреблять данную формулу так, что она определяет то, что они должны писать, следуя ей как правилу. И только в контексте уже определенного употребления можно отличать формулы, которые полностью определяют (нечто), от тех, которые определяют не полностью. Сам Витгенштейн в этом параграфе рассматривает пример с формулой y = x2. Казалось бы, опять он говорит нелепости, недопустимые для человека, знакомого с математикой хотя бы в школьном объеме. И тем не менее опять прав Витгенштейн, а наше недоумение объясняется тем, что мы не видим того, что у нас перед глазами. Не видим потому, что глаза наши закрыты шорами представлений о математике как особой, исключительной, суперстрогой и точной, имеющей дело с особыми, эфирными математическими объектами, - словом, стоящей выше, чем все прочие виды человеческой деятельности.
В том, что говорит Витгенштейн, еще нет в эксплицитном виде какой-то новой философской концепции математики, - но его замечания вызывают "смену аспекта видения", позволяют увидеть привычное в новом свете, избавившись от дихотомии "высшего" и "низшего", профанного и точного знания. И вследствие этого они несут в себе большой энергетический заряд, который рано или поздно выльется в появление новой философии математики, сильно отличающейся от того, что мы имеем сейчас под этим названием, и которая заставит по-другому взглянуть и на историю математики.
Что же касается формулы y = x2, то надо только представить себе, что вместо x подставляются иррациональные числа, например или е. И тогда разные люди, обученные разным правилам получения приближений этих чисел (например, сверху или снизу), с разными представлениями о том, до какого знака надо продолжать вычисления в соответствии с формулой y = x2 (в связи с разными задачами), будут получать отличающиеся результаты. Это и показывает, что данная формула однозначно определяет, что надо делать согласно ей, только в поле определенных видов применения.