Пусть моделирование проведём на тонкой одинарной верёвке диаметром 2 мм, эквивалентной сбросу тестового груза на одинарной верёвке диаметром 10 мм. Условно предположим для обеих верёвок одинаковые модули Юнга. Соотношение площадей сечения одной 10 мм верёвки и одной мм верёвки, в таком случае, будет равно коэффициенту уменьшения жёсткости Kж, пропорциональному уменьшению площадей сечения. Kж = (10*10) / (2*2) = 25. А масштаб уменьшения по высоте возьмем, для примера, Kh = 10.
По закону сохранения энергии, без учета сопротивления воздуха, приобретённая грузом кинетическая энергия равна потенциальной энергии запаса высоты до начала торможения:
Таким образом, приобретённая скорость V связана зависимостью квадратного корня от высоты пролёта груза h
Поэтому уменьшение высоты h в модели в Kh раз изменит приобретённую скорость Vмодели:
Итак, коэффициент уменьшения приобретённой скорости Kскорости составляет:
Система до начала торможения находится в покое и получает кинетическую энергию груза на амортизацию. Под её воздействием система деформируется, поглощая и её, и нарастающую потенциальную энергию груза до остановки. Уравнение закона сохранения энергии для системы выглядит так:
где Xполное – это глубина падения груза от начала взаимодействия до момента остановки падения;
Xмакс₁, Xмакс₂, … – максимальные деформации линейных фрагментов системы в момент остановки;
k₁, k₂, … – коэффициенты жесткости линейных фрагментов системы.
Изменение в модели приобретённой грузом скорости в Kскорости раз для сохранения равенства должно привести к изменению с одинаковым коэффициентом каждого слагаемого уравнения закона сохранения энергии:
Учтём уменьшение в модели жёсткости в Kж раз. Аналогично требуется деление каждого слагаемого уравнения системы этот коэффициент:
Параметры Vмодели, Xполное модели и все Xмакс модели все стали меньше с одинаковым коэффициентом:
Далее в получившемся уравнении сохранения энергии заменим массу груза на массу модели, используя коэффициент массы уменьшения Kмассы у слагаемого потенциальной энергии:
Для модели с такими параметрами запишем получившееся уравнение закона сохранения энергии:
Итак, в граничном положении остановки падения модель будет геометрически подобна первообразной системе, поскольку и деформации элементов подобны, и глубина падения, и потенциальная энергия в момент остановки падения подобны оригиналу. А вот кинетическая энергия модели в момент остановки будет для такой массы увеличена в Kскорости раз от подобного значения оригинала. Поэтому для анализа кинематики движения нужно уменьшение масштаба времени в соответствующее число Kскорости раз. Это можно выполнить либо увеличив массу в Kскорости раз – но такие растяжения не выдержат верёвки модели. Либо, записав на видео процесс, с помощью программ обработки видео, а затем воспроизвести его замедленно.