Если массы крайних шаров заданы и мы хотим передать максимальную энергию меньшему шару, нужно так выбрать массу каждого промежуточного шара, чтобы она была равна среднему геометрическому масс шаров, находящихся по разные стороны от него. (Среднее геометрическое двух масс — это корень квадратный из произведения этих масс.) При другом выборе масс промежуточных шаров тоже можно получить выигрыш в передаваемой энергии, но не такой большой.
Этот вывод применим и к удару мячом по голове. Если подставить руку на пути летящего мяча, это только увеличит передаваемую энергию, поскольку рука как раз имеет массу, среднюю между массами головы и мяча. И все же подставить руку стоит, поскольку она шире мяча и сила удара по голове распределится на большую площадь.
Теперь рассмотрим ситуацию с игрушкой из нескольких шариков. Фокусы с игрушкой с подвешенными рядышком шариками-маятниками обычно описывают, рассматривая импульс и кинетическую энергию шариков. Единственная возможность для этих величин остаться постоянными при серии соударений — чтобы последний шарик закончил процесс, получив всю первоначальную кинетическую энергию и импульс. Таким образом, в конце он двигается один. Объяснение настолько просто, что сбивает с толку, ведь реальное движение промежуточных шариков может быть очень сложным.
В опыте, в котором первый шар ударяет второй шар под углом, важно отношение расстояния между шариками D к радиусу шарика R. Если D/R меньше 4, нарушение строя после серии соударений исчезает, поскольку точки соударения постепенно сдвигаются к плоскости, в которой расположены шары, и удары становятся все менее косыми. Если же D/R больше 4, нарушение строя будет нарастать, поскольку точки соударений будут сдвигаться по искривленной поверхности шара дальше от плоскости, в которой расположены шары.
1.43. Падение нескольких мячей
Допустим, мы роняем два мяча примерно с высоты метра, причем вверху располагается бейсбольный, а внизу — баскетбольный мяч (рис. 1.16а). Хотя при падении по отдельности с такой высоты ни один из мячей не отскочит от пола на заметную высоту, при падении пары мячей получается неожиданный результат. Баскетбольный мяч остается лежать неподвижно на полу, а бейсбольный подпрыгивает сильно, иногда даже к потолку (рис. 1.16б). При этом высота, на которую подпрыгнет бейсбольный мяч, всегда больше, чем сумма высот, на которые отскочили бы по отдельности бейсбольный и баскетбольный мячи. (Будьте осторожны. Если удар придется не по центру баскетбольного мяча, бейсбольный мяч может отлететь в сторону, а при такой скорости он может сильно ударить.) Если повторить опыт, но на бейсбольный мяч сверху положить еще один — маленький упругий мяч, тот взлетит как ракета и может подпрыгнуть даже выше, чем бейсбольный мяч, хотя и получит меньше энергии.
Рис. 1.16 / Задача 1.43. а) До и б) после того, как баскетбольный и бейсбольный мячи вместе брошены на твердый пол. в) До и г) после столкновения очень большого и очень маленького мячей. д) До и е) после столкновения с точки зрения большого мяча.
В теории, если мячи правильно подобраны, верхний мяч из пары брошенных может подпрыгнуть на высоту, в 9 раз большую, чем высота, с которой они были сброшены. С тремя мячами, опять же правильно подобранными и, конечно, при идеальных условиях, верхний мяч может подпрыгнуть на высоту, в 49 раз превышающую высоту, с которой они сброшены. Можно экспериментировать со множеством различных мячей, например с мячиками для пинг-понга, мячами-попрыгунчиками (суперупругие мячики) или теннисными мячами. Как нужно подбирать мячи в группе, чтобы верхний мяч подпрыгнул на большую высоту, и почему он прыгает так высоко?
ОТВЕТ • Когда падает группа из двух мячей, нижний отскакивает от пола, но сталкивается с верхним, который все еще продолжает падать. При соударении энергия передается от нижнего мяча к верхнему, и он приобретает скорость, направленную вверх. Если задаться целью передать максимальную энергию верхнему мячу, нужно, чтобы нижний мяч остановился. Если мячи упругие, наибольшее количество энергии передается, когда масса нижнего мяча в три-четыре раза больше массы верхнего. Примерно такое соотношение у баскетбольного и бейсбольного мячей.
Если же стремиться к тому, чтобы верхний мяч подпрыгнул как можно выше, его нужно выбирать как можно более легким по сравнению с нижним. Высота, на которую подпрыгнет верхний мяч, пропорциональна квадрату скорости, полученной им при столкновении. Если масса верхнего мяча много меньше массы нижнего, верхний мяч получит большую скорость, и сможет подскочить на высоту, в 9 раз большую, чем высота, с которой он падал.