Похожее поведение будут демонстрировать и другие системы, изображенные на рис. 1.41. На рис. 1.41б два маятника соединяются пружиной. В третьей системе (рис. 1.41в) маятники привязаны к узкой трубке, вращающейся вокруг горизонтальной струны, а сами маятники качаются в перпендикулярной по отношению к трубке плоскости. В четвертой системе (рис. 1.41 г) они качаются перпендикулярно соединяющей их короткой струне.
Возможно, вы удивитесь, но обмен колебаниями можно увидеть и у двух одинаковых компасов. Положите один из них на стол, а другой сначала потрясите, чтобы стрелка начала колебаться, и положите рядом с первым. Колебания будут переходить от стрелки одного компаса к стрелке другого.
Как объяснить такое поведение маятников?
ОТВЕТ • Рассмотрим только первую систему связанных маятников. Передача движения возникает из-за перекачки энергии, когда маятники тянут и толкают друг друга посредством стержня. Никакой передачи энергии не будет, только если вы раскачаете маятники одним из двух особых способов, при которых возникнут колебания, называемые нормальными модами. В одной такой моде маятники двигаются в фазе (рис. 1.41д); в движении участвует полная длина обеих нитей, и колебания имеют низкую частоту. Во второй нормальной моде маятники колеблются в точности в противофазе (рис. 1.41е). Движение в противоположных направлениях мешает участвовать в движении верхним — расположенным выше стержня — отрезкам нити, так что фактическая длина маятника меньше, чем в первой нормальной моде, и частота колебаний выше.
Если вы запускаете только один маятник, в системе возбуждаются обе моды и начинают конкурировать друг с другом. И тогда маятники колеблются с частотой, средней между частотами двух нормальных мод. Их амплитуда (размах каждого колебания) меняется с частотой, равной разности частот двух мод. Когда амплитуда одного маятника уменьшается, амплитуда другого увеличивается, и наоборот.
Аналогичный обмен движением происходит и в компасах, поскольку их стрелки колеблются относительно направления магнитного поля в точности так же, как маятники колеблются вокруг направления силы тяжести.
1.119. Пружинный маятник
Подвесьте достаточно жесткую пружину за один конец, а к другому прикрепите грузик такого веса, чтобы пружина растянулась на треть и ее длина составила 4/3 от первоначальной. Потяните грузик вниз, а потом отпустите его. Сначала он будет колебаться в вертикальном направлении (рис. 1.42а), но вскоре эти колебания начнут превращаться в маятниковые (рис. 1.42б). Как только вертикальные колебания совсем прекратятся, маятниковое движение начнет затухать и опять появятся колебания грузика вдоль вертикали. Так и будет продолжаться: движение периодически будет меняться с одного вида (моды) на другой и обратно. Можно привести маятник в двухмодовый режим, если раскачать сначала не вертикальные колебания, а маятниковые.
Рис. 1.42 / Задача 1.119. Чередование: а) вертикальных колебаний пружины и б) маятниковых колебаний. в) Чередование колебаний маятника и вертикальных колебаний соединяющего маятники упругого стержня. г) Чередование колебаний маятника А и Б.
Аналогичное чередование мод происходит в системе, изображенной на рис. 1.42в, в которой маятники соединены гибким стержнем. Стержень колеблется с частотой, удвоенной по сравнению с той, с которой колебался бы каждый из маятников, будь он свободным. В этом примере энергия переходит от колебаний маятников к колебаниям стержня.
Пример столь же сложной системы изображен на рис. 1.42 г. Горизонтальная планка может вращаться вокруг стержня, на котором держится вся конструкция. К одному концу этой планки жестко прикреплена вертикальная планка, а к другому — свободно вращающаяся на шарнире еще одна вертикальная планка. В этой конструкции имеется целых два маятника: маятник А — это вторая вертикальная планка, свободно висящая на горизонтальной планке, а маятник Б — система из горизонтальной планки и крепко к ней приделанной вертикальной планки. Если подогнать длины планок так, чтобы частота колебаний маятника А была равна удвоенной частоте колебаний маятника Б, и в начальный момент подтолкнуть маятник А, то возникнет периодическое чередование колебаний одного и другого маятников (рис. 1.41а).
Как в этих примерах объяснить чередование разных колебаний?
ОТВЕТ • Рассмотрим сначала первую систему. Если висящий на пружине груз сначала оттянуть, а потом отпустить, чтобы он отскочил строго по вертикали, пружина будет только сжиматься и разжиматься. Но так точно выдержать вертикальность невозможно — почти наверняка вы придадите ему некоторое движение вбок. Если подвесить грузик с параметрами, описанными в условии задачи, движение по вертикали будет происходить с частотой, удвоенной по сравнению с частотой чисто маятникового движения.