Первое, что идёт прямо из динамики, - сумма сил, действующих на тело, должна быть равна нулю. И это действительно так, но это ещё не всё. Здесь есть ещё второе условие, посложнее. Если наших двух одинаковых детей посадить нормально - так, что они будут сидеть каждый на сиденье, - то они действительно будут в равновесии. А если один из них подсядет ближе - качели тут же наклонит в сторону его товарища. Силы-то остались те же! Но поменялись их моменты. Момент силы - это модуль (только значение, без вектора!) силы, умноженный на её плечо - то есть расстояние от оси вращения до линии, по которой действует сила. Притом это расстояние выбирается кратчайшее - а как подсказывает заумная геометрия, в таком случае нужно брать длину отрезка, перпендикулярного линии силы. По-русски (и более наглядно) это значит, что надо просто брать длину той части качели, которая идёт от точки опоры до человека. Она всегда будет одна и та же, хоть ты перевернись.
Маленькое замечание к моментам: поскольку крутить он может в две разные стороны - "вверх" и "вниз" (именно в кавычках, строго говоря - это "по часовой стрелке" и "против часовой стрелки"), - то договорились, что момент, крутящий против часовой стрелки, будет больше нуля, а по часовой - меньше. По-честноку, не знаю, как это лучше запомнить и не перепутать - если только не знать алгебру на уровне синусов-косинусов - там тоже углы на единичной окружности отсчитываются таким же образом: против часовой стрелки идёт увеличение (+), по - уменьшение (-).
Короче говоря, из всех этих страшных слов следует простая вещь: если у тела есть закреплённая ось вращения, и сумма моментов сил, действующих на это тело, равна нулю, то тело будет в равновесии. На этом правиле основана работа весов - если неизвестную массу измеряемого туловища уравновешивают вместе поставленные гирьки, то момент силы тяжести гирек будет равен моменту силы тяжести туловища - отсюда, поскольку плечи обеих сил равны (а если даже и не равны, то они были бы известны - но так считать было бы гораздо неудобнее), то известны сами силы. А дальше как в ручных весах - сила тяжести гирек равна силе тяжести туловища, откуда при известной массе гирек находим, что масса туловища будет такая же.
Вкратце и поумнее: статика - раздел механики, изучающий условия равновесия взаимодействующих тел (в самом общем случае). Используется модель твёрдого тела, поскольку при нарушении равновесия оно будет вращаться вокруг некой оси, а материальная точка исключает вращение. Твёрдое тело - модель тела, деформацией которого под действием внешних сил можно пренебречь. Ось вращения - воображаемая прямая, на которой находятся центры всех траекторий точек вращающегося относительно неё твёрдого тела. Плечо силы - расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует эта сила. Момент силы - произведение модуля силы на её плечо. Единица измерения - ньютон, умноженный на метр. Момент, вращающий тело по часовой стрелке, считается отрицательным, а против часовой стрелки - положительным. Итого условий равновесия твёрдого тела два: тело находится в равновесии, если сумма сил, действующих на это тело, равна нулю, и если сумма моментов сил, действующих на тело относительно произвольно выбранной оси, тоже равна нулю. В том числе отсюда следует правило моментов: тело, имеющее закреплённую ось вращения, будет находиться в равновесии, если сумма моментов сил относительно этой оси будет равна нулю.
Кое-как проехали страшную математику статики. Остались только слова. А именно заумные рассуждения на тему, как лучше держать тело, чтобы оно не упало, и какие вообще могут быть равновесия. Да, у равновесий тоже есть виды, оказывается! Отвлечёмся от качелей и весов, проще всего эти виды равновесия понять так: взять шарик и кинуть его в канаву-кювет U-образной формы. Шарик поболтается туда-сюда, после чего остановится на дне в середине (если смотреть вдоль, по канавке). Попытаешься толкнуть шарик - он снова покатается вправо-влево, но, в конце концов, всё равно вернётся в центр. Это устойчивое равновесие - если вывести шарик из равновесия, он со временем вернётся в него. Считается, что девушки любят парней, находящихся в устойчивом равновесии эмоциональном - то есть если человека "задеть", то он со временем всё равно успокоится и будет, как ни в чём не бывало. Эмоции, конечно, не шарик, расчётам не поддаются. Но суть та же самая - это тоже устойчивое равновесие. Хуже, когда оно неустойчивое: это значит, что невероятными усилиями мы добиваемся равновесия, а потом что-то выводит из него - и всё. Обратно просто так, сам собой, уже не вернёшься. Как таких товарищей называют? Правильно, нытиками. Если не обижать людей и показать на том же шарике - его можно положить, например, на компьютерную мышку (конечно, так, чтоб не двигался). Если его задеть, то он упадёт и, конечно же, обратно не запрыгнет. А вот когда шарик оказался на ровной поверхности стола - он в безразличном равновесии. Тронешь его - он поедет, но потом остановится, как ни в чём не бывало и по-прежнему останется в равновесии. Разница между этими тремя равновесиями - в силе, возникающей при отклонении. Когда равновесие устойчивое, при выведении из него возникает сила, стремящаяся вернуть в положение равновесия (в примере с шариком - сила тяжести). Когда неустойчивое - сила тоже возникает, но она при этом стремится вывести тело из равновесия ещё сильнее (в примере - тоже сила тяжести). Когда безразличное - никакой силы, стремящейся поддержать или подавить равновесие, не возникает. Умники могут возразить: а как же сила трения? Шарик-то трётся о поверхность! На что у меня припрятан туз в рукаве: соль здесь не только в силе, а ещё и в энергии. Об этом буквально через абзац. В двух словах, в чём различие по ней: потенциальная (не пугаться и не смеяться!) энергия тела при выведении из устойчивого равновесия возрастает, при выведении из неустойчивого - уменьшается, а при безразличном - не меняется вообще.