Фиг. 260. Изохронные колебания и график зависимости смещения от времени.
«Простым гармоническим движением» мы называем повторяющееся движение особого типа — движение маятника и схожее с ним движение груза на пружине, — это не просто любое движение с постоянным периодом. (Кроты, выползающие из-под земли каждое утро в поисках пищи и возвращающиеся каждую ночь обратно под землю, совершают в известном смысле «изохронное» движение — его период составляет 24 часа, как бы ни были глубоки их норы, — но это, разумеется, отнюдь не простое гармоническое движение.) Если проанализировать движение маятника, обратившись к геометрии, то можно установить важную характеристику этого движения.
Движение маятника характеризуется переменным ускорением, которое всегда направлено к среднему положению и изменяется прямо пропорционально расстоянию от этого положения.
Если s — расстояние вдоль траектории, скажем, груза маятника, а а — ускорение, то мы найдем a ~ s, или а = —k2s, где k — вещественная постоянная.
Знак минус показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную отклонению. (Когда груз отклонен вправо — мы считаем такие отклонения положительными, когда ускорение направлено влево, мы приписываем ему отрицательное значение.)
Фиг. 261. Разнообразные системы, совершающие простые гармонические движения.
Механика движения маятника
Чтобы показать, что для груза маятника а ~ s (при малых амплитудах), рассмотрим действующие на него силы. Сила натяжения нити направлена по радиусу и не может изменить скорость груза. Кроме этой силы, на груз действует только притяжение Земли, вес груза, направленный вертикально вниз. Разложим этот вектор на компоненты F1 и F2:
F1 направленная вдоль дуги, придает грузу ускорение,
F2 направленная вдоль радиуса, уравновешивает натяжение нити.
Из рассмотрения подобных треугольников (фиг. 262) находим
СИЛА F1 ПРИДАЮЩАЯ УСКОРЕНИЕ / ВЕС Mg = РАССТОЯНИЕ ПО ГОРИЗОНТАЛИ х / ДЛИНА L
F1/Mg = x/L
Следовательно,
F1 = Mg∙x/L
и
УСКОРЕНИЕ ГРУЗА = СИЛА/МАССА = — F1/M = (-Mg∙x/L)/M = — g∙x/L
Таким образом, мы установили, что а направлено к положению равновесия и что а ~ х, но мы не получили соотношения a ~ s вдоль траектории движения маятника. При больших отклонениях маятника его движение не является простым гармоническим движением. При малых отклонениях оно почти в точности совпадает с простым гармоническим движением, и х (горизонтальное смещение груза) почти совпадает с криволинейной дугой s (отклонением груза, измеренным вдоль его траектории).
Фиг. 262. Силы, действующие на груз маятника.
В таком случае мы можем перейти от а = —(g/L)∙x к а = —(g/L)∙s
(обе величины примерно одинаковы для маятника в данном случае), а это и есть наше определение простого гармонического движения: а направлено к положению равновесия и а ~ смещению s.
Мы описываем это свойство выражением
а = — k2s,
где k2 — постоянная.
Отсюда можно показать, что период Т дается соотношением
T = 2π/k
(Это легче всего сделать с помощью математического анализа; см. ниже. Существуют доказательства, в которых не прибегают к математическому анализу, но они ведут к цели обходным и весьма громоздким путем, см. учебники по общей физике.) Поэтому каждый раз, встречая систему, в которой действие сил приводит к соотношению а = —k2s, мы можем сразу сказать, что такая система способна совершать простое гармоническое движение с периодом 2π/k.