Простые гармонические движения и закон Гука
Теперь вернемся к замечанию, которое было сделано в задаче 1.
Предположим, имеется груз, который подвешен на пружине, подчиняющейся закону Гука. Натяжение пружины в точности уравновешивает вес груза, когда он находится в состоянии покоя или когда, совершая колебания, проходит через положение равновесия. Во всех других положениях существует небольшое натяжение (со знаком + или —), пропорциональное удлинению (по закону Гука); оно придает грузу ускорение. Ускорение всегда направлено к положению равновесия и меняется прямо пропорционально смещению от этого положения (по закону Гука). Таким образом, мы имеем соотношение а = —k2s, которое как раз и соответствует движению, называемому нами простым гармоническим колебанием.
Период колебания 2π/k можно вычислить, зная массу груза М и «жесткость» пружины К, равную отношению (сила)/(удлинение); это отношение представляет собой постоянную, определяющую наклон прямой, которая выражает закон Гука. Добавочная сила, соответствующая добавочному удлинению s, равна Ks, а сообщаемое ею ускорение равно — ks/M. Следовательно, k2 равно K/M, и Т дается выражением
Т = 2π∙√(ЖЕСТКОСТЬ» ПРУЖИНЫ К / МАССА М).
Это соотношение позволяет вычислить период простого гармонического колебания. Кроме того, у нас появляется превосходный способ оценить жесткость пружины по измеренному периоду колебаний. Мы пользуемся им, измеряя g с помощью маятника: в этом случае сила земного притяжения дает эквивалентную «жесткость пружины», равную Mg/L. В опыте Кавендиша, который позволяет измерить гравитационную постоянную G (см. гл. 23[158]), проволока слишком слаба для прямого измерения ее сопротивления закручиванию, поэтому измеряют период крутильных колебаний проволоки, представляющих собой простое гармоническое движение, и вычисляют сопротивление закручиванию.
Простое гармоническое движение — широко распространенный вид движения
Итак, мы можем сказать, что простые гармонические колебания совершает любая система, в которой развивается возвращающая сила, пропорциональная смещению от положения равновесия:
— любой маятник (при малых отклонениях);
— любая система, подчиняющаяся закону Гука (например, пружина, к которой прикреплен груз; балка, подвергаемая изгибу; спиральная пружина, т. е, лента, свернутая в плоскую спираль, которая также подвергается изгибу, и т. д.);
— атомы, удерживаемые в молекуле упругими электрическими силами (задачи об инерционных весах, разбиравшиеся в гл. 7, по существу содержат рассмотрение простого гармонического движения);
— колебания воздуха при возникновении звуковых волн, например колебания воздуха внутри флейты (график зависимости р от V, соответствующий закону Бойля, непохож на прямую закона Гука, но изменения давления, которые здесь имеют место, очень малы, они укладываются на коротком участке графика, настолько коротком, что его можно практически считать отрезком прямой);
— жидкость в открытой U-образной трубке[159];
— струны музыкальных инструментов.
Мы называем это движение простым гармоническим колебанием, потому что подобные колебания совершаются в музыкальных инструментах, когда берут чистый тон (при этом от музыкальных инструментов исходят соответствующие звуковые волны).
При затухании колебаний период их остается неизменным, волны характеризуются неизменной частотой и мы слышим тот же звук.
Опыт 1. Наблюдая за колебаниями очень длинного маятника, можно лучше уяснить, что такое гармоническое движение. Можно попытаться самому совершать простое гармоническое движение, двигаясь взад и вперед по некоторому отрезку пути (фиг. 263).
Фиг. 263. Простое гармоническое движение.
При движении наклоняйтесь в направлении к центру отрезка так, чтобы наклон характеризовал ваше ускорение; в конце пути вы должны сильно наклониться в направлении к центру, а пробегая мимо центра с максимальной скоростью, — выпрямиться. В центре отрезка, где вы движетесь быстрее всего, вы не можете двигаться еще быстрее, поэтому ваше ускорение равно нулю. В конце отрезка ваша скорость на какое-то мгновение становится равной нулю, но в то же время она изменяется здесь быстрее всего, ибо сначала скорость направлена от центра, проходит через нуль, затем направление скорости меняется на обратное; в этой точке вы обладаете довольно большим ускорением, направленным к центру отрезка; так подсказывают ваши ноги. (Сопоставьте это с рассмотрением ускорения тела, брошенного под углом к горизонту, в «вершине» его траектории.)
159
В этом случае нетрудно произвести расчет и выяснить, как давление, обусловленное разностью уровней, создает «возвращающую силу», которая заставляет жидкость двигаться с ускорением. Мы найдем, что период колебаний такой же, как у простого маятника, длина которого равна половине столба жидкости в трубе. Проверьте, если хотите, это в лаборатории. Период один и тот же независимо от вида жидкости. К этому выводу можно прийти путем простых рассуждений,