400 + (2/100)∙400
и представить произведением 400∙(1 + 2/100)
Точно так же запишите ширину участка. Вычислите площадь участка по полученным результатам измерений, перемножив длину и ширину, записанное в виде произведений:
(400∙(1 + 2/100))∙(300 + ())
Это дает
400∙300∙()()
или
120 000∙()()
Величина 120 000 кв. м характеризует истинную площадь. Поэтому произведение ()(), будучи представлено суммой (1 + некоторое число), прямо дает ошибку в процентах при определении площади. Преобразуйте произведение ()() к сумме вида (1 + некоторое число), как это делается в алгебре. Точно так же, как запись 400∙(1 + 2/100) указывает ошибку 2 % в измерении длины, 400 м, результат такого преобразования покажет, что ошибка в определении площади равна…%.
в) (Алгебраический вариант.) Размеры прямоугольного земельного участка X м на Y м. Длина участка завышена при измерении на x % и равна по данным измерений Х + (x/100)∙Х м; ширина завышена на у%.
Разложите длину и ширину, найденные при измерениях, на множители, как в задаче (б). Перемножьте обе величины, чтобы найти площадь. В полученном результате нужно выделить ту часть, которую можно истолковать как ошибку в процентах, допускаемую при определении площади. [Обратите внимание на то, что ошибка не равна в точности величине, вычисляемой по приведенному выше простому правилу. Произведение ()(), приведенное к сумме (1 + некоторое число), содержит еще одну очень малую дробь со знаменателем 10 000. Эта дробь представляет собой чрезвычайно малую добавку к ошибке, и ею можно пренебречь. Убедитесь в этом сами, подставив конкретные числа; например, возьмите 2 вместо х и 3 вместо у.]
г) (Геометрический вариант.) Нарисуйте прямоугольный участок поля. Удлините стороны прямоугольника так, чтобы длина увеличилась на х%, а ширина — на у%, и очертите новые границы участка. Какую долю первоначальной площади составляют добавочные полоски?
Задача 2. Ошибки в сомножителях со знаками плюс и минус
Предположим, что в задаче 1 при обмере участка длина оказалась завышенной, а ширина заниженной. Покажите в общем виде с помощью алгебраических преобразований или на примере с конкретными числами, что ошибка в процентах при вычислении площади равна разности ошибок в определении длины и ширины или алгебраической сумме этих ошибок, если ошибку заниженного результата измерений считать отрицательной.
Задача 3. Ошибки в двух и более одинаковых сомножителях
Предположим, что прямоугольный участок в приведенных выше задачах представляет собой квадрат. Если землемер это знает, он измеряет лишь одну сторону квадрата X (с ошибкой х%) и для определения площади возводит результат измерения в квадрат.
1. Какова ошибка в процентах при таком подсчете площади?
2. Вообще если произведение содержит сомножитель X2, то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%.
3. Если произведение содержит величину X3, то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%.
4. Если произведение содержит величину Xn, то ошибка х% сомножителя X приводит к ошибке в произведении, равной…%.
Задача 4. Ошибки в квадратных корнях
Предположим, что произведение содержит в качестве множителя √Х.
Как повлияет ошибка в X, равная х%, на точность произведения? Попытайтесь сообразить, какой будет ответ, воспользовавшись одним из следующих способов:
1. Запишите √Х в виде X1/2 и примите в качестве допущения, что правило решения четвертого вопроса задачи 3 применимо и в том случае, когда n — дробное число.
2. Если множитель √Х фигурируете произведении дважды, то мы получаем √Х∙√Х, или (√Х)2, т. е. X. Значит, ошибка в X, равная х%, дает ошибку х% в произведении. Поэтому если множитель √Х встречается только один раз, то мы полагаем, что ошибка составит… %.
…текст не читается…
сталкиваются, например, при разделении изотопов урана для получения атомной энергии. См. задачу в гл. 30[169].)
169