Задача 5. Ошибки в делителях
Предположим, нам нужно вычислить частное X/Y. Если значение Y завышено на у%, то как это отразится на частном? Предположим, мы увеличили X на столько же процентов, что и Y. Тогда частное будет, равно
или X/Y, т. е. не изменится. Если знаменатель дроби завышен на у%, то эта ошибка в точности компенсирует ошибку у% в числителе, который тоже завышен. Обе ошибки дают одинаковый по величине и противоположный по знаку вклад в ошибку частного. Следовательно, если завысить на у% знаменатель дроби, то это приведет к такому же результату, как занижение на у% числителя. Значит, ошибка +у% в делителе Y приведена к ошибке частного X/Y, равной — у%. Заметьте, что это следует и из решения четвертого вопроса задачи 3.
Задача 6. Вычисление результата с несколькими множителями
Предположим, эксперимент приводит к результату
Экспериментаторы дают для своих измерений следующие ошибки в процентах:
от точного значения 126 может отличаться на ±1 %,
9,25 — на ±0,2 %,
0,0740 — на ±0,1 %,
29,62 — на ±0,2 %,
0,00521 — на ±0,1 %.
Если бы все результаты отдельных измерений были занижены на величину ошибки, то
а) числитель записанной выше дроби R был бы занижен на…?…%,
б) знаменатель дроби R был бы занижен на…?…%;
в) вследствие этого окончательный результат (R = 1530) был бы за…ен?
на…?…%.
В самом худшем случае все результаты измерений, стоящие в числителе, могут быть занижены на величину ошибки, а все результаты измерений, стоящие в знаменателе, — завышены на величину ошибки;
г) в этом случае результат будет за…ен? на…?…%.
На практике мы рассчитываем, что столь коварного заговора против нас не будет. Тем не менее результат, который получается в последнем случае, может служить серьезным предостережением.
Оценка как единственная возможность
Часто бывает необходимо прикинуть ответ, хотя нет данных для точного расчета или нет ни времени, ни возможностей использовать все данные полностью. Например, при сильном снегопаде в большом городе городские власти хотят знать, сколько человек требуется для уборки снега. Неважно, будет ли это 3219 или 3456 человек: вполне достаточно установить, что требуется 3000–4000 человек. Но эту цифру нужно получить быстро: обсуждать и уточнять, требуется ли 3119 человек или на 100 больше или на 50 меньше, не приходится — задержка повлечет большие затраты времени и денег, а может привести и к серьезной опасности.
Однако уборка снега — старая проблема, где подсчет может базироваться на опыте прошлых лет. Иногда возникают новые проблемы, требующие быстрого ответа, хотя даже исходные данные можно оценить лишь ориентировочно. Например, генерал спрашивает полковника, указывая на карту. «Сколько человек может прокормить этот район в течение месяца?» Генерала устраивает незамедлительный, пусть ненадежный ответ: «Около 7000».
Тщательное обследование и точный учет продовольствия и потребностей, включая детальное рассмотрение транспортной проблемы, могли бы дать более достоверный ответ, скажем 9250. Но необходимые данные нельзя получить, пока район не будет занят!
Еще один пример. При пересмотре налогов нужно быстро получить приближенную оценку объема импорта табака. Ошибка даже на 40 % не помешает решению задачи. Детальное изучение вопроса могло бы привести к результату, отличающемуся от истинной цифры всего на 0,1 %. Но оно было бы сопряжено с ненужной тратой средств и не имело бы ничего общего с научным подходом к проблеме. Дело в том, что этот точный результат играет лишь второстепенную роль в общем комплексе вопросов и должен учитываться совместно с другими сведениями, которые не могут быть точными.
На рубежах новых знаний приближенная оценка может оказаться главным и единственным результатом эксперимента. Тем не менее ученые могут быть очень рады такому результату[170].
Например, в раннюю эпоху развития атомной физики эксперименты позволили высказать предположение, что «атомы углерода имеют по 6 электронов». Сегодня мы знаем, что каждый нейтральный атом углерода имеет ровно 4 электрона, ну а 50 лет назад физики были рады узнать, что это число электронов близко к 6, а не к 2 или 20. Они смело приняли число электронов равным 6 и выдвинули теорию строения атомов, которая содействовала дальнейшему развитию атомной физики, направляя экспериментаторов и теоретиков по верному пути. Опытная проверка теории на основе содержащихся в ней положений подтвердила правильность этой теории и окончательно оправдала выбор числа 6 в ретроспективном плане.
170
В современной физике примерами могут служить оценки и предположения, которыми пользуются в исследованиях космических лучей. Одни эксперименты в этой области физики отличаются высокой точностью, другие дают приближенные оценки, которые тем не менее играют первостепенную роль при построении новой теории.