(x1 + x2 +… + xN)
и
(y1 + y2 +… + yN),
S2 = (x1 + x2 +… + xN)2 + (y1 + y2 +… + yN)2 =
= х12 + x22 +… + 2х1x2 + 2х1x3 +… + y12 + y22 +… + 2y1y2 + 2y1y3 +… =
= L2 + L2 + НУЛЬ = N∙L2
«Смешанные слагаемые», наподобие 2х1x2, при усреднении по многим блужданиям дают нуль, ибо эти слагаемые могут одинаково часто быть как положительными, так и отрицательными и иметь величину от 0 до 2L2. То же справедливо и для «смешанных слагаемых» с у. Поэтому среднее значение S = √(N)∙L
Доказательство станет нагляднее, если применит тригонометрию и разложить каждый шаг на горизонтальную и вертикальную компоненты: L∙cos θ и L∙sin θ. Тогда пара смешанных слагаемых, наподобие 2L2∙cos θ1∙cos θ2 и 2L2∙sin θ1∙sin θ2, складывается в 2L2∙cos (θ1 — θ2), а косинус одинаково часто бывает как положительным, так и отрицательным, давая в среднем нуль.
* * *
При столкновении двух молекул расстояние между их центрами равно радиусу одной + радиус второй молекул, т. е. диаметру d. Для упрощения будем считать, что радиус одной из сталкивающихся молекул равен d, а вторая молекула — просто точка (фиг. 101).
Фиг. 101. Упрощенная геометрия свободного пробега.
Расстояние между их центрами при соударении прежнему будет d. Представим теперь, что мы стреляем точечной молекулой по системе из ячеек с ребром D, каждая из которых содержит по одной молекуле-мишени радиусом d (фиг. 102). Летящая молекула проходит первый ряд ячеек, но, вероятнее всего, не попадает в цель, которая находится где-то внутри ячейки.
Фиг. 102. Средний свободный пробег.
Точечная молекула пронизывает ячейки. Сколько должна она пролететь ячеек до соударения? Молекуле, нацеленной на переднюю грань площадью D2, должно казаться, будто молекулы задних ячеек мишени заполняют своими кружочками площадью πD2 всю грань.
Другой способ рассуждений. Вместо «раздувания» молекулы-мишени можно выстрелить «раздутой» молекулой, сжав остальные молекулы в точки, когда площадь поперечного сечения летящей молекулы равна πd2. Во время полета она заполняет трубку с таким поперечным сечением; при каждом столкновении эта трубка изгибается (фиг. 103).
Когда в такую «трубку» попадает молекула-мишень, происходит столкновение, а не попавшие в трубку молекулы остаются «за бортом». Между двумя последовательными соударениями молекула пролетает средний свободный пробег, так что заполненный объем равен
(ПЛОЩАДЬ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ) ∙ (СРЕДНИЙ СВОБОДНЫЙ ПРОБЕГ),
или πd2L
Но заполняя этот объем, она сталкивается только с одной молекулой, так что этот объем равен также D3, т. в. размеру ячейки, занимаемой одной молекулой газа. Следовательно, πd2L = D3, или L = D3/πd2, как и выше.
Еще более простой метод. За счет более смелых предположений можно прийти к оценке d даже без всякой геометрии и «труб». Будем рассуждать так. Поместим некое количество обычного воздуха в высокий цилиндр. Нажмем на поршень и сожмем воздух в 750 раз, чтобы молекулы сгрудились столь же тесно, как в жидком воздухе. (Если хотите, охлаждайте воздух до тех пор, пока он не станет жидким). Сгрудившиеся молекулы служат лучшей мишенью, так как средний свободный пробег станет в 750 раз меньше. Попытаемся теперь догадаться, каков будет средний свободный пробег молекул в воздухе, сжатом до плотности жидкости. Сообразите-ка, сколько ячеек должна пролететь одна молекула, чтобы удариться о другую, учитывая при этом расстояние не от центра до центра, а от поверхности до поверхности. Это трудная задача.