Блестящее предположение о том, что это основное правило может быть общим, сделал не кто иной, как мы сами. Именно мы приветствовали такую подсказку машине, а затем проверили все[238]. В качестве другого примера математики летящего снаряда рассмотрим уже встречавшуюся нам ранее задачу с двумя ответами.
Задача 1
В птицу, сидящую на дереве на высоте 15 м, бросили вертикально вверх камень с начальной скоростью 20 м/сек. Через сколько секунд после броска камень попадет в нее? (g ~= 10 м/сек).
Ответ: 1 или 3 сек.
Фиг. 126. К задаче 1.
Этот ответ характеризует алгебру как очень честного, но довольно глупого слугу. Получилось два ответа, как собственно и должно быть для задачи, предложенной машине. Камень может попасть в птицу, когда летит вверх (через 1 сек) и когда падает вниз (через 3 сек). Если вы упрекнете машину за второй ответ, она будет оправдываться так: «Но вы же ничего не сказали о том, что камень должен попадать в птицу и, кроме того, что он должен попасть в нее, когда будет лететь вверх. Я только вычислила, через какое время камень будет на высоте 15 м над землей, а таких времен два». Вернувшись назад, вы увидите, что совершенно не отразили в математике контакт между камнем и птицей и ничего не сказали о направлении движения камня в этот момент. То, что инструкция неполная, — наша вина, а то, что машина вежливо дала вам все возможные в рамках инструкции ответы, — делает ей честь.
Если в каком-нибудь ответе на задачу получаются 3 или 21/4 коровы, мы вправе отбросить второй ответ, но вы сами виноваты, что не сообщили математической машине некие важные сведения о коровах. В физических задачах, где возникает несколько ответов, мы обычно без особого смысла отбрасываем некоторые из них. Все эти ответы могут быть совершенно правильными, если же некоторые из них слишком уж странные, то, признав их, мы можем прийти к новым выводам. Если вы вспомните задачу 15 приложения II к гл. 1[239], то увидите, что означает второй ответ.
А вот еще задача того же типа.
Задача 2
Человек бросает в колодец глубиной 30 м камень, который начинает падать вниз со скоростью 5 м/сек. Когда он достигнет дна?
Фиг. 127. К задаче 2.
Припишем исходным данным подходящие знаки + и —, подставим их в подходящее выражение для свободного падения и решим уравнение. Получаются два ответа: один — разумный со знаком + («правильный» ответ), а другой с отрицательным знаком. Но так ли уж глуп отрицательный ответ?
Время, равное —3 сек, просто означает: «За 3 сек до того, как были пущены часы». Машине не было сказано о том, что камень брошен вниз человеком. Ей только сообщили, что в нулевой момент, когда были пущены часы, камень двигался вниз со скоростью 5 м/сек, а после этого падал свободно. Камень в нулевой момент времени мог просто выскользнуть из рук. Он мог быть брошен задолго до этого вторым человеком со дна колодца — предположим, он швырнул его вверх с достаточной силой, чтобы камень получил нужную скорость в нулевой момент. Таким образом, хотя наша теория говорит: «Джордж, стоя на краю колодца, бросил вниз камень…», ответ — 3 сек свидетельствует совсем о другой истории: «Алфред, стоя на дне колодца, сильно бросил камень вверх. Камень вылетел из колодца с уменьшающейся скоростью, достиг высшей точки и начал падать с возрастающей скоростью, пролетев мимо Джорджа через 3 сек после того, как его бросил Алфред. Джордж не успел поймать камень (в момент t = 0), так что тот пролетел мимо него со скоростью 5 м/сек и снова упал на дно колодца». Согласно математике, камень достигнет дна через 1 сек после того, как его выпустит Джордж из рук, или же он мог бы начать движение со дна за 3 сек до того, как пролетит мимо Джорджа. Вернемся к задаче 15 приложения II гл. 1 и попытаемся пояснить полученные там два ответа.
238
Это простенький пример, выбранный из области хорошо знакомой вам физики; к сожалению, он настолько прост, что ответ уже был известен вам до того, как машина выдала его. Но есть много случаев, когда машина может выдать совершенно неожиданные утверждения и заставляет нас проверять их на опыте. Например, математическое исследование по волновой теории света говорит, что, когда диск отбрасывает в пучке света тень, в середине тени будет маленькое яркое пятнышко света (как если бы в каждой монете была дырочка).