Физика для любознательных. Том 3. Электричество и магнетизм. Атомы и ядра

ПЛОЩАДЬ Р₁/ПЛОЩАДЬ Р₂ = d₁²/d₂² из геометрии.

Следовательно,

Q₁/Q₂ = d₁²/d₂²

Если закон Кулона справедлив, то следует ожидать, что силы, с которыми Q₁ и Q₂ действуют на очень малый пробный заряд q, равны ∙Q₁∙q/d₁² и ∙Q₂∙q/d₂². Но мы показали, что Q₁ и Q₂ пропорциональны d₁² и d₂². Поэтому запишем вместо Q₁ и Q₂ K∙d₁² и K∙d₂². Тогда силы, действующие на пробный заряд q, будут равны

∙(K∙d₁²)∙q/d₁² и — ∙(K∙d₂²)∙q/d₂²

или ∙K∙q и —∙K∙q, а эти силы равны и противоположны по направлению и, следовательно, взаимно уничтожаются. (См. ниже более краткий алгебраический вариант доказательства.)

Мы рассмотрели только пару узких конусов, выделяющих области Р₁ и Р₂. Можно представить себе еще одну пару конусов, примыкающих к первой и также проходящих через точку D. Те же самые рассуждения применимы к этой и ко всем другим парам конусов, которыми теперь можно мысленно заполнить весь шар[56].

Проверка

Если дан закон обратной пропорциональности квадрату расстояния, то можно показать, что «электрическое поле внутри полого заряженного шара отсутствует». При проверке закона обратной пропорциональности квадрату расстояния мы опираемся на обратное утверждение. Если некое утверждение верно, то обратное утверждение не всегда верно, но мы можем легко показать, что в данном случае оно верно. Геометрия конусов дает множители d₁² и d₂² в числителях приведенных выше выражений; в соответствии с законом обратной пропорциональности квадрату расстояний такие же множители оказываются в знаменателе каждой дроби. Один заряд больше другого, но эта разница компенсируется расстоянием в точно такой же пропорции. Если бы сила взаимодействия зарядов зависела от расстояния по какому-то другому закону и не подчинялась закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, то в знаменателе каждой дроби были бы другие множители, и указанная выше компенсация нарушалась. Например, при обратной пропорциональности кубу расстояния действие большего по величине, но более удаленного заряда ослаблялось бы слишком сильно. (Так, если расстояния относятся, как 3:1, то площади вырезаемых областей относятся, как 9:1, и заряды на них, — как 9:1. Обратные квадраты расстояний относятся, как 1:9, и это компенсирует разную величину заряда. Обратные кубы расстояний относятся, как 1:27, и это нарушило бы компенсацию.)

56

Большинство этих очень узких конусов пересекает поверхность шара наклонно, но это не нарушает рассуждений, поскольку наклон одинаков у обоих оснований конусов Р₁ и Р₂. Любая хорда окружности или сферы образует равные углы с касательными, проведенными через ее концы.