Сократив на m1(v1 − u1), получим:
т.е.
m2v1 + m2u1 = m1v1 − m1u1
или
(m1 − m2)v1 = (m1 + m2)u1,
что дает следующее значение для величины скорости первого шара после удара:
При лобовом столкновении с неподвижным шаром налетающий шар отскакивает обратно (u1 отрицательно), если его масса меньше. Если m1 больше m2, то оба шара продолжают движение в направлении удара.
При биллиардной игре в случае точного лобового удара часто наблюдается такая картина: шар-снаряд резко останавливается, шар-мишень отправляется в лузу. Это объясняется только что найденным уравнением. Массы шаров равны, и уравнение дает u1 = 0, а значит, u2 = v1. Налетающий шар останавливается, а второй шар начинает движение со скоростью налетевшего. Шары как бы меняются скоростями.
Рассмотрим еще один пример столкновения тел по закону упругого удара, а именно косой удар тел равной массы (рис. 40). Второе тело до удара покоилось, поэтому законы сохранения импульса и энергии имеют вид:
mv1 = mu1 + mu2,
Сократив на массу, получим:
v1 = u1 + u2, v12 = u12 + u22.
Вектор v1 есть векторная сумма u1 и u2. Но ведь это означает, что длины векторов-скоростей образуют треугольник.
Что же это за треугольник? Вспомним теорему Пифагора. Ее выражает наше второе уравнение. Это значит, что треугольник скоростей должен быть прямоугольным с гипотенузой v1 и катетами u1 и u2. Значит, u1 и u2 образуют между собой прямой угол. Этот интересный результат показывает, что при любом косом упругом ударе тела равной массы разлетаются под прямым углом.
V. Колебания
Равновесие
В некоторых случаях равновесие очень трудно поддержать – попробуйте пройтись по натянутому канату. В то же время никто не награждает аплодисментами сидящего в кресле-качалке. А ведь он тоже поддерживает свое равновесие.
В чем же разница в этих двух примерах? В каком случае равновесие устанавливается «само собой»?
Условие равновесия как будто бы очевидно. Чтобы тело не смещалось из своего положения, действующие на него силы должны уравновешиваться; иными словами, сумма этих сил должна равняться нулю. Это условие действительно необходимо для равновесия тела, но достаточно ли оно?
На рис. 41 изображен профиль горки, которую нетрудно соорудить из картона. Шарик будет вести себя по-разному в зависимости оттого, на какое место горки его положить. В любой точке на склоне горы на шарик будет действовать сила, которая заставит его покатиться вниз. Этой действующей силой является сила тяжести, вернее ее проекция на направление касательной линии к профилю горки, проведенной в точке, которая нас интересует. Понятно поэтому, что чем более пологий склон, тем меньше будет действующая на шарик сила.
Нас прежде всего интересуют те точки, в которых сила тяжести полностью уравновешивается реакцией опоры, а значит результирующая сила, действующая на шарик, равна нулю. Это условие будет соблюдено на вершинах горки и в нижних точках – ложбинках. Касательные к этим точкам горизонтальны, и результирующие силы, действующие на шарик, равны нулю.
Однако на вершинах, несмотря на то, что результирующая сила равна нулю, шарик расположить не удастся, а если и удастся, то мы сразу обнаружим побочную причину этой удачи – трение. Небольшой толчок или легкое дуновение преодолеют силы трения, шарик стронется с места и покатится вниз.
Для гладкого шарика на гладкой горке положением равновесия будут только низкие точки ложбинок. Если толчком или струей воздуха вывести шарик из этого положения, шарик вернется в него сам по себе.