Потенциальная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату смещения тела из положения равновесия.
Проверим правильность выведенной формулы. Потеря потенциальной энергии должна равняться работе возвращающей силы. Рассмотрим два положения тела – x2 и x1. Разность потенциальных энергий
Но разность квадратов можно записать как произведение суммы на разность. Значит,
Но x2 − x1 есть путь, пройденный телом, kx1 и kx2 – значения возвращающей силы в начале и в конце движения, а (kx1 + kx2)/2 равно средней силе.
Наша формула привела нас к правильному результату: потеря потенциальной энергии равна произведенной работе.
Колебание пружин
Легко заставить колебаться шарик, подвесив его на пружину. Закрепим один конец пружины и оттянем шарик (рис. 46). В растянутом состоянии пружина находится, пока мы оттягиваем шарик рукой. Если отпустить руку, пружина будет сокращаться, и шарик начнет движение к положению равновесия. Так же, как и маятник, пружина приходит в состояние покоя не сразу. По инерции будет пройдено положение равновесия, и пружина начнет сжиматься. Движение шарика замедляется и в какой-то момент он останавливается, чтобы тут же начать движение в обратную сторону. Возникает колебание с теми же типичными признаками, с которыми мы ознакомились, изучая маятник. При отсутствии трения колебание продолжалось бы без конца. При наличии трения колебания затухают, и при этом тем быстрее, чем больше трение.
Зачастую роли пружины и маятника аналогичны. И та, и другой служат для поддержания постоянства периода в часах. Точный ход современных пружинных часов обеспечивается колебательным движением маленького махового колеса-баланса. В колебание его приводит пружина, которая свертывается и развертывается десятки тысяч раз в сутки.
У шарика на нитке роль возвращающей силы играла касательная составляющая силы тяжести. У шарика на пружине возвращающая сила является силой упругости сжатой или растянутой пружины. Таким образом, величина упругой силы прямо пропорциональна смещению: F = kx.
Коэффициент k имеет в данном случае другой смысл. Теперь это жесткость пружины. Жесткая пружина – это та, которую трудно растянуть или сжать. Именно такой смысл и имеет коэффициент k. Из формулы ясно: k равно силе, необходимой для растяжения или сжатия пружины на единицу длины.
Зная жесткость пружины и массу подвешенного к ней груза, мы найдем при помощи формулы T = 2π·sqrt(m/k) период свободного колебания. Например, груз с массой 10 г на пружине с жесткостью 105 дин/см (это довольно жесткая пружина – стограммовая гиря растянет ее на 1 см) будет совершать колебания с периодом T = 6,28·10−2 с. В одну секунду будет происходить 16 колебаний.
Чем мягче пружина, тем медленнее происходит колебание. В том же направлении влияет и увеличение массы груза.
Применим к шарику на пружинке закон сохранения энергии.
Мы знаем, что для маятника сумма кинетической и потенциальной энергий K + U не изменяется.
Значения K и U для маятника нам известны. Закон сохранения энергии говорит, что
Но то же самое верно и для шарика на пружинке.
Вывод, который мы неизбежно должны сделать, весьма интересен.
Кроме потенциальной энергии, с которой мы познакомились раньше, существует, таким образом, потенциальная энергия и другого рода. Первая называется потенциальной энергией тяготения. Если бы пружина была расположена горизонтально, то потенциальная энергия тяготения во время колебания, конечно, не менялась бы. Новая потенциальная энергия, обнаруженная нами, называется потенциальной энергией упругости. В нашем случае она и равна kx2/2, т.е. зависит от жесткости пружины и прямо пропорциональна квадрату величины сжатия или растяжения.
Сохраняющаяся неизменной полная энергия колебаний может быть записана в виде E = ka2/2, или E = mv02/2.
Величины a и v0, входящие в последние формулы, представляют собой максимальные значения, которые принимают смещение и скорость во время колебания, – это амплитудные значения смещения и скорости. Происхождение этих формул вполне понятно. В крайнем положении, когда x = a, кинетическая энергия колебания равна нулю и полная энергия равна значению потенциальной энергии. В среднем положении смещение точки от положения равновесия, а следовательно, и потенциальная энергия равны нулю, скорость в этот момент максимальна, v = v0 и полная энергия равна кинетической.