На рис. 70 изображено два положения планеты. От Солнца, т.е. от фокуса эллипса, проведены два радиуса к положениям планеты, и образовавшийся сектор заштрихован. Надо определить величину площади, описываемой радиусом за единицу времени. При небольшом угле сектор, описанный радиусом за секунду, можно заменить треугольником. Основание треугольника – скорость v (путь, проходимый за секунду), а высота треугольника равна плечу d скорости. Поэтому площадь треугольника есть vd/2.
Из закона сохранения момента следует постоянство величины mvd во время движения. Но если mvd неизменно, то не меняется и площадь треугольника vd/2. Мы можем начертить секторы для любых моментов времени – они окажутся одинаковыми по площади. Скорость планеты меняется, но то, что можно назвать секториальной скоростью, остается неизменным.
Не все звезды имеют планетное окружение. Довольно много в небе двойных звезд. Два огромных небесных тела вращаются одно около другого.
Огромная масса Солнца делает его центром семейства. В двойных звездах оба небесных тела имеют близкие по величине массы. В этом случае нельзя считать, что одна из двух звезд покоится. Как же происходит движение в этом случае? Мы знаем, что каждая замкнутая система имеет одну покоящуюся (или равномерно движущуюся) точку – это центр инерции. Вокруг этой точки и вращаются обе звезды. При этом они описывают подобные эллипсы, что следует из написанного на стр. 135 условия m1/m2 = r2/r1.
Эллипс одной звезды больше эллипса другой во столько раз, во сколько масса одной звезды больше массы другой (рис. 71). При равных массах обе звезды будут описывать около центра инерции одинаковые траектории.
Планеты солнечной системы находятся в идеальных условиях: они не подвержены трению.
Создаваемые людьми маленькие искусственные небесные тела – спутники – не находятся в таком идеальном положении: силы трения, пусть сначала очень незначительные, но все же чувствительные, решительно вмешиваются в их движение.
Полная энергия планеты остается неизменной. Полная энергия спутника с каждым оборотом слегка падает. На первый взгляд кажется, что трение будет замедлять движение спутника. В действительности происходит обратное.
Вспомним прежде всего, что скорость спутника равна
sqrt(gR) или sqrt(γ(M/R)), где R – расстояние от центра Земли, а М – ее масса.
Полная энергия спутника равна:
Подставив значение скорости спутника, найдем для кинетической энергии выражение γ(mM/2R). Мы видим, что по абсолютной величине кинетическая энергия в два раза меньше потенциальной, а полная энергия равна
При наличии трения полная энергия будет падать, т.е. (поскольку она отрицательна) расти по абсолютной величине; расстояние R начнет уменьшаться: спутник снижается. Что при этом произойдет со слагаемыми энергии? Потенциальная энергия убывает (растет по абсолютной величине), кинетическая энергия растет.
Общий баланс все же отрицателен, так как потенциальная энергия убывает вдвое быстрее, чем возрастает кинетическая.
Трение приводит к возрастанию скорости движения спутника, а не к замедлению.
Теперь понятно, почему большая ракета-носитель обгоняет маленький спутник. У большой ракеты трение больше.
Если бы не было Луны
Мы не будем обсуждать печальные следствия отсутствия Луны для поэтов и влюбленных. Заголовок параграфа надо понимать гораздо прозаичнее: как сказывается присутствие Луны на земной механике.
Когда мы раньше обсуждали, какие силы действуют на лежащую на столе книгу, то уверенно говорили: притяжение Земли и сила реакции. Но, строго говоря, лежащая на столе книга притягивается и Луной, и Солнцем, и даже звездами.
Луна – наш ближайший сосед. Забудем про Солнце и звезды и посмотрим, насколько изменится вес тела на Земле под действием Луны.
Земля и Луна находятся в относительном движении. По отношению к Луне Земля как целое (т.е. все точки Земли) движется с ускорением γ(m/r2), где m – масса Луны, а r – расстояние от центра Луны до центра Земли. Рассмотрим тело, лежащее на поверхности Земли. Нас интересует, насколько изменится его вес под действием Луны. Земной вес определяется ускорением по отношению к Земле. Поэтому, иными словами, нас интересует, насколько изменится под действием Луны ускорение лежащего на земной поверхности тела по отношению к Земле.