Ускорение Земли по отношению к Луне γ(m/r2); ускорение тела, лежащего на поверхности Земли, по отношению к Луне γ(m/r12), где r1 – расстояние от тела до Луны (рис. 72).
А нам нужно дополнительное ускорение тела по отношению к Земле: оно будет равно геометрической разности соответствующих ускорений.
Величина γ(m/r2) – постоянное число для Земли, а γ(m/r12) – разное в разных точках земной поверхности. Значит, и интересующая нас геометрическая разность будет различной для разных мест земного шара.
Какова будет земная тяжесть в наиболее близком к Луне месте, в самом отдаленном от нее и посередине на земной поверхности?
Для нахождения вызванного Луной ускорения тела по отношению к центру Земли, т.е. поправки к земному g, надо из величины γ(m/r12) в указанных местах земного шара (светлые стрелки на рис. 73) вычесть постоянную величину γ(m/r2). При этом надо помнить, что ускорение γ(m/r2) – Земли к Луне – направлено параллельно линии центр Земли – Луна. Вычитание вектора равносильно прибавлению обратного вектора. Жирными стрелками на рисунке показаны векторы –γ(m/r2).
Складывая изображенные на рисунке векторы, мы найдем то, что нас интересует: изменение ускорения свободного падения на поверхности Земли, возникающее благодаря влиянию Луны.
В месте, наиболее близком к Луне, результирующее дополнительное ускорение будет равно:
и направлено к Луне. Земная тяжесть уменьшается, тело в точке А становится легче, чем при отсутствии Луны.
Имея в виду, что R много меньше r, написанную формулу можно упростить. Приведя к общему знаменателю, получим:
Отбросив в скобках относительно малую величину R, вычитаемую из значительно бо́льших величин r или 2r, получим
Перенесемся теперь к антиподам. В точке В ускорение со стороны Луны не больше, а меньше общего земного. Но мы находимся теперь на дальней от Луны стороне земного шара. Уменьшение притяжения Луной приводит на этой стороне земного шара к тем же результатам, что увеличение притяжения в точке A – к уменьшению ускорения силы тяжести. Не правда ли, неожиданный результат – и здесь тело становится легче под действием Луны. Разность
оказывается по абсолютной величине такой же, как в точке А.
Иначе дело обстоит на средней линии. Здесь ускорения направлены под углом, и вычитание общего ускорения Земли Луною γ(m/r2) и ускорения Луною лежащего на Земле тела γ(m/r12) надо произвести геометрически (рис. 74). Мы ничтожно отойдем от средней линии, если расположим тело на Земле так, чтобы r1 и r равнялись по величине. Векторная разность ускорений представляет собой основание равнобедренного треугольника. Из подобия треугольников, изображенных на рис. 74, видно, что искомое ускорение во столько раз меньше γ(m/r2), во сколько R меньше r. Значит, искомая добавка к g на средней линии земной поверхности равна
по численной величине это в два раза меньше ослабления силы земного притяжения в крайних точках. Что же касается направления этого добавочного ускорения, то оно, как это видно из рисунка, и в этом случае практически совпадает с вертикалью в данной точке земной поверхности. Оно направлено вниз, т.е. приводит к увеличению веса.
Итак, влияние Луны на земную механику состоит в изменении веса тел, находящихся на земной поверхности. При этом в наиболее близкой и далекой от Луны точках вес уменьшается, а на средней линии возрастает, причем изменение веса во втором случае в два раза меньше, чем в первом.
Разумеется, проведенные рассуждения верны для любой планеты, для Солнца, для звезд.