Часто нам бывает интересно знать длину пути, пройденного телом в равномерно-ускоренном движении. Если движение равномерное, то пройденный путь находится умножением скорости движения на время движения. Если движение равномерно-ускоренное, то подсчет величины пройденного пути производится так, как если бы тело двигалось то же время t равномерно со скоростью, равной полусумме начальной и конечной скоростей:
S = 1/2(v0 + v)/t
Итак, при равномерно-ускоренном (или замедленном) движении путь, пройденный телом, равен произведению полусуммы начальной и конечной скоростей на время движения. Такой же путь был бы пройден за to же время при равномерном движении со скоростью 1/2(v0 + v). В этом смысле про 1/2(v0 + v) можно сказать, что это средняя скорость равномерно-ускоренного движения.
Полезно составить формулу, которая показывала бы зависимость пройденного пути от ускорения. Подставляя v = v0 +at в последнюю формулу, находим:
S = v0t + a∙t2/2,
или, если движение происходит без начальной скорости,
S = a∙t2/2
Если за одну секунду тело прошло 5 м, то за две секунды оно пройдет (4 x 5) м, за три секунды — (9 x 5)м и т. д. Пройденный путь возрастает пропорционально квадрату времени.
По этому закону падает с высоты тяжелое тело. Ускорение при свободном падении равно g, и формула приобретает такой вид:
S = (981/2)∙t2
если t подставить в секундах, a g в сантиметрах на секунду в квадрате.
Если бы тело могло падать без помех каких-нибудь 100 с, то оно прошло бы с начала падения громадный путь — около 50 км. При этом за первые 10 с будет пройдено всего лишь 0,5 км — вот что значит ускоренное движение.
Но какую же скорость разовьет тело при падении с заданной высоты? Для ответа на этот вопрос нам понадобятся формулы, связывающие пройденный путь с ускорением и скоростью. Подставляя в S = 1/2(v0 + v)/t значение времени движения t = (v — v0)/a получим:
S = (1/2a)∙(v2 — v02),
или, если начальная скорость равна нулю,
S = v2/2a, v = √(2aS)
Десять метров — это высота небольшого двух- или трехэтажного дома. Почему опасно прыгнуть на Землю с крыши такого дома? Простой расчет показывает, что скорость свободного падения достигнет значения v = √(2∙9,8∙10) м/с = 14 м/с ~= 50 км/ч, а ведь это городская скорость автомашины.
Сопротивление воздуха не намного уменьшит эту скорость.
Выведенные нами формулы применяются для самых различных расчетов. Применим их, чтобы посмотреть, как происходит движение на Лупе.
В романе Уэллса «Первые люди на Луне» рассказывается о неожиданностях, испытанных путешественниками в их фантастических прогулках. На Луне ускорение тяжести примерно в 6 раз меньше земного. Если на Земле падающее тело проходит за первую секунду 5 м, то на Луне оно «проплывет» вниз всего лишь 80 см (ускорение равно примерно 1,6 м/с2).
Написанные формулы позволяют быстро подсчитать лунные «чудеса».
Прыжок с высоты h длится время t = √(2h/g). Так как лунное ускорение в 6 раз меньше земного, то на Луне для прыжка понадобится в √6 ~= 2,45 раз больше времени. Во сколько же раз уменьшается конечная скорость прыжка (v = √(2g∙h))?
На Луне можно безопасно прыгнуть с крыши трехэтажного дома. В шесть раз возрастает высота прыжка, сделанного с той же начальной скоростью (формула h = v2/2g). Прыжок, превышающий земной рекорд, будет под силу ребенку.
Задача бросить предмет как можно дальше решается человеком с незапамятных времен. Камень, брошенный рукой или выпущенный из рогатки, стрела, вылетевшая из лука, ружейная пуля, артиллерийский снаряд, баллистическая ракета — вот краткий перечень успехов в этой области.