От чего же зависит период колебания тела, движущегося вблизи положения устойчивого равновесия? В частности, от чего зависит период колебания маятника? Первым поставил и решил этот вопрос Галилей. Формулу периода колебания маятника мы сейчас выведем.
Однако трудно элементарным путем применять законы механики к неравномерно-ускоренному движению. Поэтому, чтобы обойти эту трудность, заставим грузик маятника по колебаться в вертикальной плоскости, а описывать окружность, оставаясь все время на одной высоте. Такое движение создать нетрудно, надо лишь дать начальный толчок отведенному от положения равновесия маятнику точно в направлении, перпендикулярном к радиусу отклонения, и подобрать силу этого толчка.
На рис. 4.2 изображен такой «круговой маятник».
Грузик с массой m движется по кругу. Значит, кроме силы, тяжести mg, на него действует центробежная сила mv2/r, которую мы можем представить и в виде 4π2n2r∙m. Здесь n — число оборотов в секунду. Поэтому выражение для центробежной силы можно записать и так: m∙4π2r/Т2. Равнодействующая этих двух сил натягивает нить маятника.
На рисунке заштрихованы два подобных треугольника — треугольники сил и расстояний. Отношения соответствующих катетов равны, значит,
mgT2/m∙4π2r = h/r
или
T = 2π∙√(h/g)
От каких же причин зависит период колебания маятника? Если мы производим опыты в одном и том же месте земного шара (g не меняется), то период колебания зависит лишь от разности высот точки подвеса и точки нахождения груза. Масса груза, как и всегда при движениях в поле тяжести, не сказывается на периоде колебания.
Интересно следующее обстоятельство. Мы изучаем движение вблизи положения устойчивого равновесия. При малых же отклонениях разность высот h мы можем заменить длиной маятника l. Легко проверить это. Если длина маятника 1 м, а радиус отклонения 1 см, то
h = √(10 000 — 1) = 99,995 см.
Различие между h и l в 1 % наступит лишь при отклонении в 14 см. Таким образом, период свободных колебаний маятника для не слишком больших отклонений от положения равновесия равен
T = 2π∙√(l/g)
т. е. зависит лишь от длины маятника и значения ускорения свободного падения в том месте, где производится опыт, но не зависит от величины отклонения маятника от положения равновесия.
Формула T = 2π∙√(l/g) доказана для кругового маятника; а какова же она будет для обыкновенного «плоского»? Оказывается, формула сохраняет свой вид. Доказывать ото строго мы не будем, но обратим внимание на то, что тень грузика, отбрасываемая на стену круговым маятником, колеблется почти так же, как плоский маятник: тень совершает одно колебание как раз за то время, пока шарик опишет окружность.
Использование малых колебаний около положения равновесия позволяет произвести измерение времени с очень большой точностью.
Согласно преданию, Галилей установил независимость периода колебания маятника от амплитуды и массы, наблюдая во время богослужения в соборе за тем, как раскачиваются две огромные люстры.
Итак, период колебания маятника пропорционален корню квадратному из его длины. Так, период колебания метрового маятника в два раза больше периода колебания маятника длиной 25 см. Из формулы периода колебания маятника далее следует, что один и тот же маятник будет колебаться не одинаково быстро на разных земных широтах. По мере продвижения к экватору ускорение свободного падения уменьшается, и период колебания растет.
Период колебания можно измерить с очень большой точностью. Поэтому опыты с маятниками дают возможность очень точно измерять ускорение свободного падения.
Прикрепим к нижней части грузика маятника мягкий грифелек и подвесим маятник над листом бумаги так, чтобы грифель касался бумаги (рис. 4.3).
Теперь слегка отклоним маятник. Качающийся грифелек прочертит на бумаге небольшой отрезок прямой линии. В середине качания, когда маятник проходит положение равновесия, карандашная линия будет пожирнее, так как в этом положении грифелек сильнее нажимает на бумагу. Если потянуть лист бумаги в направлении, перпендикулярном к плоскости колебания, то прочертится кривая, изображенная на рис. 4.3. Нетрудно сообразить, что получившиеся волночки будут расположены густо, если бумагу тянуть медленно, и редко, если лист бумаги движется со значительной скоростью. Чтобы кривая получилась аккуратной, как на рисунке, нужно, чтобы лист бумаги двигался строго равномерно.