Когда на предыдущих страницах мы решали задачи механики, в которых тело мысленно заменялось точкой, вопрос о сложении сил решался просто. Правило параллелограмма давало ответ на этот вопрос, а если силы были параллельны, то мы складывали их величины как числа.
Теперь дело обстоит сложнее. Ведь воздействие силы на предмет характеризуется не только ее величиной и направлением, но и точкой ее приложения, или — мы пояснили выше, что это одно и то же — линией действия силы.
Сложить силы — значит заменить их одной. Это возможно далеко не всегда.
Замена параллельных сил одной равнодействующей — задача, осуществимая всегда (за исключением одного особого случая, о котором будет сказано в конце этого параграфа). Рассмотрим сложение параллельных сил. Конечно, сумма сил в 3 кгс и 5 кгс равна 8 кгс, если силы смотрят в одну сторону. Задача состоит в том, чтобы найти точку приложения (линию действия) равнодействующей силы.
На рис. 5.6 изображены две действующие на тело силы.
Суммарная сила F заменяет силы F1 и F2, но это значит не только то, что F = F1 + F2, действие силы F будет равноценно действию F1 и F2 в том случае, если и момент силы F будет равен сумме моментов F1 и F2.
Мы ищем линию действия суммарной силы F. Конечно, она параллельна силам F1 и F2, но на каких расстояниях проходит эта линия от сил F1 и F2?
В качестве точки приложения силы F на рисунке изображена точка, которая лежит на отрезке, соединяющем точки приложения сил F1 и F2. По отношению к выбранной точке момент F, разумеется, равен нулю. Но тогда сумма моментов F1 и F2 по отношению к этой точке тоже должна равняться нулю, т. е. моменты сил F1 и F2, противоположные по знаку, будут равны по величине.
Обозначив буквами d1 и d2 плечи сил F1 и F2, можем записать это условие так:
F1d1 = F2d2, или F1/F2 = d2/d1.
Из подобия заштрихованных треугольников следует, что d2/d1 = l2/l1, т. е. точка приложения суммарной силы на соединительном отрезке делит расстояние между складываемыми силами на части l1 и l2, обратно пропорциональные силам.
Обозначим буквой l расстояние между точками приложения сил F1 и F2. Очевидно l = l1 + l2.
Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
F1l1 — F2l2 = 0
l1 + l2 = l
Получим:
l1 = F2l/(F1 + F2), l2 = F1l/(F1 + F2),
По этим формулам мы можем найти точку приложения равнодействующей силы не только в том случае, когда силы смотрят в одну сторону, но и в случае с силами, направленными в противоположные стороны (как говорят, антипараллельными). Если силы направлены в разные стороны, то они имеют противоположные знаки, и равнодействующая равна разности сил F1 - F2, а не их сумме. Считая отрицательной меньшую из двух сил F2, видим по нашим формулам, что l1 становится отрицательным. Это значит, что точка приложения силы F1 лежит не левее (как ранее), а правее точки приложения равнодействующей (рис. 5.7), при этом по-прежнему
F1/F2 = l2/l1
Интересный результат получается при равных антипараллельных силах. Тогда F1 + F2 = 0. Формулы показывают, что l1 и l2 становятся при этом бесконечно большими. Какой же физический смысл имеет это утверждение? Так как относить результирующую в бесконечность бессмысленно, то, значит, равные антипараллельные силы нельзя заменить одной. Такую комбинацию сил называют парой сил.