А нам нужно найти дополнительное ускорение тела по отношению к Земле: оно будет равно геометрической разности соответствующих ускорений.
Величина γ∙m/r2 — постоянное число для Земли, a γ∙m/r12 — разное в разных точках земной поверхности. Значит, и интересующая нас геометрическая разность будет различной для разных мест земного шара.
Какова будет земная тяжесть в наиболее близком к Луне месте, в самом отдаленном от нее и посередине на земной поверхности?
Для нахождения вызванного Луной ускорения тела по отношению к центру Земли, т. е. поправки к земному g, надо из величины γ∙m/r1, в указанных местах земного шара (светлые стрелки на рис. 6.11) вычесть постоянную величину γ∙m/r2. При этом надо помнить, что ускорение γ∙m/r2 — Земли по отношению к Луне — направлено параллельно линии центр Земли — центр Луны. Вычитание вектора равносильно прибавлению обратного вектора. Жирными стрелками на рисунке показаны векторы —γ∙m/r2.
Складывая изображенные на рисунке векторы, мы найдем то, что нас интересует: изменение ускорения свободного падения на поверхности Земли, возникающее благодаря влиянию Луны.
В месте, наиболее близком к Луне, результирующее дополнительное ускорение будет равно:
и направлено к Луне. Земная тяжесть уменьшается, тело в точке А становится легче, чем при отсутствии Луны.
Имея в виду, что R много меньше r, написанную формулу можно упростить. Приведя к общему знаменателю, получим:
Отбросив в скобках относительно малую величину R, вычитаемую из значительно больших величин r или 2r, получим
2γ∙m∙R/r3
Перенесемся теперь к антиподам. В точке В ускорение, вызванное Луной, не больше, а меньше общего земного. Но мы находимся теперь на дальней от Луны стороне земного шара. Уменьшение притяжения Луной приводит на этой стороне земного шара к тем же результатам, что увеличение притяжения в точке А — к уменьшению ускорения свободного падения. Неправда ли, неожиданный результат — и здесь тело становится легче под действием Луны. Разность
оказывается по абсолютной величине такой же, как в точке А.
Иначе дело обстоит на средней линии. Здесь ускорения направлены под углом, и вычитание общего ускорения Земли Луною γ∙m/r2 и ускорения Луною лежащего на Земле тела γ∙m/r12 надо произвести геометрически (рис. 6.12).
Мы ничтожно отойдем от средней линии, если расположим тело на Земле так, чтобы r1 и r равнялись по величине. Векторная разность ускорений представляет собой основание равнобедренного треугольника. Из подобия треугольников, изображенных на рис. 6.12, видно, что искомое ускорение во столько раз меньше γ∙m/r2, во сколько R меньше r. Значит, искомая добавка к g на средней линии земной поверхности равна
γ∙m∙R/r3
по числовому значению это в два раза меньше ослабления силы земного притяжения в крайних точках. Что же касается направления этого добавочного ускорения, то оно, как это видно из рисунка, и в этом случае практически совпадает с вертикалью в данной точке земной поверхности. Оно направлено вниз, т. е. приводит к увеличению веса.
Итак, влияние Луны на земную механику состоит в изменении веса тел, находящихся на земной поверхности. При этом в наиболее близкой и далекой от Луны точках вес уменьшается, а на средней линии возрастает, причем изменение веса во втором случае в два раза меньше чем в первом.
Разумеется, проведенные рассуждения верны для любой планеты, для Солнца, для звезд.
Нетрудно подсчитать, что ни планеты, ни звезды не дают и ничтожной доли лунного ускорения.
Сравнить действие любого небесного тела с действием Луны очень легко: надо разделить добавочные ускорения этого тела на «лунный добавок»:
Это отношение не намного меньше единицы лишь для Солнца. Солнце много дальше от нас, чем Луна, но масса Луны в десятки миллионов раз меньше массы Солнца.