Рассмотрим одну из таких систем плоскостей, характеризующихся межплоскостным расстоянием d. Каждая из них будет «отражать» падающий луч под одним и тем же углом θ. Эти отраженные лучи должны интерферировать между собой, и сильный вторичный луч может возникнуть только в том случае, если лучи, отраженные от всех плоскостей семейства, будут распространяться в одной фазе. Иными словами, разность хода между лучами должна равняться целому числу длин волн.
На рис. 3.2 сделано геометрическое построение, из которого следует, что разность хода между соседними отраженными лучами равняется 2d∙sin θ. Следовательно, условие дифракции будет иметь вид
2d∙sin θ = n∙λ
Одновременно с Брэггами к этой формуле пришёл русский кристаллограф Г. В. Вульф, и она названа уравнением Брэгга-Вульфа (правильнее было бы употреблять первую фамилию во множественном числе, но так уж принято).
Кристалл можно разбить на системы плоскостей сколь угодно большим числом способов. Но эффективной для отражения окажется лишь система с таким межплоскостным расстоянием и ориентированная по отношению к падающем лучу таким образом, чтобы выполнялось уравнение Брэгга-Вульфа.
Очевидно, если луч монохроматический (т. е. электромагнитная волна имеет определенную длину), то при произвольном положении кристалла по отношению к лучу отражение может и не произойти. Однако, поворачивая кристалл, мы можем по очереди привести в отражающее положение разные системы плоскостей. Именно такой способ работы и оказался наиболее подходящим для практических целей.
Что же касается опыта Лауэ, то его удача определилась, тем, что на кристалл падал «белый спектр» рентгеновских лучей, т. е. поток волн, длины которых непрерывно распределены в некотором интервале (см. ниже). Поэтому, хотя в опыте Лауэ кристалл был неподвижен, разные системы плоскостей оказались в «отражающем» положении для волн различной длины. В настоящее время рентгеноструктурный анализ полностью автоматизирован. Маленький кристаллик (0,1–1 мм) закрепляют на специальной головке, которая может по заданной программе поворачивать кристалл, подставляя в отражающее положение одну за другой все его системы плоскостей. Каждая отражающая плоскость (так говорят для краткости, чтобы не повторять все время слово «система») характеризуется, во-первых, своим межплоскостным расстоянием, во-вторых, углами, которые она образует с осями элементарной ячейки кристалла (длины ребер и углы между ребрами ячейки измеряются в первую очередь и также автоматически), и, в-третьих, интенсивностью отраженного луча.
Чем больше атомов содержит молекула, тем, естественно, больше размеры элементарной ячейки. С этим усложнением растет и объем информации. Ведь число отражающих, плоскостей будет тем больше, чем больше ячейка. Число измеряемых отражений может колебаться от нескольких десятков до нескольких тысяч.
Мы обещали ознакомить читателя с основными идеями рентгеноструктурного анализа. Сначала, так сказать, перевернем проблему. Положим, что структура кристалла известна во всех деталях. Это значит, что мы знаем рисунок атомов, т. е. располагаем, сведениями о координатах всех атомов, образующих элементарную ячейку (пожалуйста, освежите в своей памяти те сведения о структуре кристалла, которые были даны во 2-й книге). Рассмотрим какую-либо систему отражающих плоскостей. Достаточно очевидно следующее. Если большинство атомов кристалла ляжет на плоскости, проходящие через узлы решетки, то все атомы будут рассеивать рентгеновские лучи в одной фазе. Возникнет сильный отраженный луч. Теперь представьте себе другой случай. Половина атомов попадает на узловые плоскости, а половина атомов находится как раз по середине между отражающими плоскостями. Тогда половина атомов рассеивает падающий луч в одной фазе, а половина — в противоположной. Отражения не произойдет!
Это два крайних случая. Во всех остальных мы будем получать, лучи разной интенсивности. Измерительный прибор — его называют автоматическим дифрактометром — способен измерить интенсивности отражений, отличающиеся в десять тысяч раз.
Интенсивность луча однозначно связана с расположением атомов между узловыми плоскостями. Формула, дающая, эту связь, слишком сложна, чтобы мы ее привели. Да это и не нужно. Сказанного выше в отношении двух крайних случаев достаточно, чтобы читатель поверил в существование такой формулы, в которой интенсивность представлена в функции координат всех атомов. Сортность, атомов также учитывается этой формулой, ибо чем больше электронов у атома, тем сильнее он рассеивает рентгеновские лучи.