1.4 Энергия гравитационного поля
(гравитационная энергия)
Для вычисления энергии гравитационного поля выполним следующий мысленный опыт. Разделим все вещество некоторого космического тела на ряд сферических оболочек и будем каждую оболочку удалять в бесконечность. При удалении одной оболочки совершается работа
(1.4.1)
где m=4;r;;;r – масса оболочки, M=4;r;;i/3 – масса остатка, r — текущий радиус, ;i – средняя плотность остатка. Изменение плотности по глубине можно представить как
(1.4.2)
где ;0 — плотность в центре, R – радиус объекта, n — показатель степени. Когда n;;, ;/;0;1, то есть плотность одинакова во всех точках небесного тела (случай мелких космических тел и астероидов). При n=1 плотность линейно меняется по глубине от нуля на поверхности до ;0 в центре (случай крупных космических тел, звезд и планет). При n=0 почти все вещество собрано в центре, а на поверхности его количество исключительно мало (случай гигантских газовых туманностей с массой в миллионы раз больше солнечной).
Чтобы определить среднюю плотность ;i, рассчитаем массу М путем интегрирования всех сферических оболочек
(1.4.3)
Вследствие того, что M = 4;r;;i/3, мы получаем
(1.4.4)
Подстановка масс и плотностей в формулу (1.4.1) и ее интегрирование от r=0 до r=R дает
(1.4.5)
где ; = 0.6(n+3)(2n+11)/(n+5)/(2n+5) – численный фактор, определяющий распределение вещества внутри космического объекта. Минимальное значение ;=0.6 и минимальная работа имеют место для n;;. При n=1 фактор ; =0.743. Максимальное значение ;=0.792 наблюдается для n;0, то есть для случая гигантских газовых туманностей.
Зададимся вопросом: во что преобразуется работа, вычисляемая по формуле (1.4.5)? Ответ будет следующим: эта работа тратится на уничтожение гравитационного поля космического объекта. Когда мы разделяем объект на ряд сферических оболочек и удаляем каждую из них в бесконечность, мы фактически уничтожаем объект, то есть уничтожаем его гравитационное поле. Так как поле обладает энергией Е, мы должны для его уничтожения затратить работу, равную сумме гравитационной и кинетической энергий всех оболочек на бесконечно большом удалении. Когда кинетическая энергия равна нулю, вычисляемая по формуле (1.4.5) работа даст энергию гравитационного поля
(1.4.6)
Для расчета плотности гравитационной энергии (содержание энергии в единице объема) выполним другой мысленный эксперимент. Будем уменьшать среднюю плотность вещества космического объекта от ;1 до ;2 при его постоянной массе. В этом случае радиус тела меняется от R1 до R2.. Разность гравитационных энергий
(1.4.7)
дает величину гравитационной энергии внутри тонкого слоя толщиной ;R между двумя сферами с радиусами R1 и R2.. Разделив эту разность на объем слоя, мы будем иметь плотность гравитационной энергии
(1.4.8)
Хотя настоящая формула получена для слоя пространства, прилегающего к поверхности объекта, она продолжает оставаться в силе для любой другой точки пространства. Единственное отличие будет заключаться в том, что вместо радиуса R надо будет использовать расстояние Н от центра объекта до интересующей точки. Учитывая, что ускорение свободного падения в данной точке рассчитывается как g = ;M/H;, мы получаем связь между ускорением свободного падения и плотностью энергии гравитационного поля
(1.4.9)
Полученная формула справедлива для самого общего случая произвольного количества космических объектов, в то время как предыдущая формула (1.4.8) справедлива только для одного космического тела, когда гравитационное поле является сферически симметричным и всякая его деформация отсутствует. Величина g в формуле (1.4.9) является векторной суммой всех ускорений свободного падения, создаваемых отдельными полями.
Все формулы получены для случая нулевой плотности вещества на поверхности объекта. В общем случае ;S ;0 формулы сохраняют свою форму, меняется только фактор ;.
Для Земли ;S = 2200 кг/м;, ;0 = 17000 кг/м;, М = 5.97;10(24) кг, R = 6.38;10(6) м, а плотность вещества с глубиной меняется по закону, близкому к линейному, поэтому n=1. Тогда ; = 0.671, EG = 2.5;10(32) дж, ;G = 0.786;10(11)дж/м;. Для сравнения энергетический эквивалент всех известных месторождений углеводородного топлива оценивается величиной порядка 10(22) дж. Ясно, что преобразование гравитационной энергии в электричество и тепло может успешно решить все наши топливные и энергетические проблемы.