Таким образом, мы получили следующий результат: при подъеме тела из нижней точки траектории в верхнюю в среде одинаковой с телом плотности работа не выполняется и энергия не меняется, но дальнейшее падение тела из верхней точки в нижнюю в пустоте сопровожается выполнением работы над физвакуумом и переходом в него части энергии гравполя. И тогда суммарная работа по замкнутому контуру в гравитационном поле оказывается не равной нулю.
Настоящий результат справедлив для самого общего случая переменной плотности. Не обязательно исключать окружающую среду полностью на одном из участков. Достаточно изменить либо плотность тела, либо плотность среды таким образом, чтобы разность плотностей менялась от участка к участку. Но если разность плотностей неизменна, тогда суммарная работа по замкнутому контуру будет равна нулю.
Такая картина получается по причине того, что гравполе воспринимает любой контур совершенно иначе, чем воспринимает его человек. В рассмотренном примере подъема тела в среде одинаковой с ним плотности и дальнейшего падения в пустоте гравитационное поле "замечает" только вторую часть контура. Ту его часть, где среда отсутствует. Первая половина контура полем не замечается из-за того, что оно не в состоянии отличить поднимаемый предмет от окружающей среды, т. к. реагирует только на плотность, а плотности здесь одинаковы. Поэтому такой контур оказывается для поля разомкнутым, хотя нам он будет казаться замкнутым. А по разомкнутому контуру суммарная работа уже не равна нулю.
Ошибка Гаусса с его правилом нулевой работы применительно к гравитационному полю состояла в том, что он рассматривал действие лишь одной силы тяжести, но не рассматривал действие выталкивающей силы Архимеда. До тех пор, пока плотности среды и движущегося в ней предмета не меняются, Архимедова сила вносит одинаковый численно, но разный по знаку вклад на восходящей и нисходящей половинах контура. Поэтому эти вклады взаимно компенсируются и в окончательном итоге их можно не учитывать. Однако, если плотность среды или предмета меняется, Архимедова сила вносит разный вклад на разных участках траектории, которые нейтрализовать друг друга уже не могут и потому должны учитываться.
Покажем это математически. Суммарная работа по замкнутому контуру в гравполе рассчитывается формулой
(1.5.1)
где FP – сила тяжести, FA – выталкивающая сила Архимеда, а сам интеграл является круговым. Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, мы можем переписать это выражение в виде суммы двух интегралов от FP и FA . Первая составляющая всегда равна нулю в полном соответствии с правилом Гаусса и потому его можно отбросить. А вторую составляющую мы можем разложить на две части по контуру вверх F1A и по контуру вниз F2A, и тоже представить в виде суммы двух интегралов
(1.5.2)
причем интегралы в данной формуле будут уже полукруговыми. Сила Архимеда всегда направлена вверх, а дифференциал dx может быть направлен как вверх, так и вниз. Поэтому одна составляющая формулы (1.5.2) всегда положительна, а другая всегда отрицательна. И когда Архимедовы силы F1A и F2A равны друг другу, итоговый результат будет равен нулю. Но если они окажутся не равны друг другу, тогда одна составляющая не сможет нейтрализовать другую и суммарная работа по контуру станет отличной от нуля. А сделать их не равными друг другу очень легко, если менять фазовое состояние перемещаемого по контуру предмета: пар на одной части контура, жидкость на другой (или жидкость + твердое тело). Выражаясь самыми общими словами, нужно сделать разными условия выполнения работы на разных участках контура.