Δ
𝑥
=
Δ𝑦
tg φ
=
β𝑦
tg φ
Δ
𝑡'
.
Поэтому скорость движения точки пересечения 𝐴 равна
β
𝐴
=
Δ𝑥
Δ𝑡
=
β𝑦
tg φ
.
Для любой величины β𝑦 можно подобрать такой достаточно маленький, но всё же отличный от нуля угол φ, что β𝐴 будет больше единицы, т.е. будет превышать скорость света. Но такое перемещение точки пересечения ни в коей мере не влечёт за собой передачи информации вдоль оси 𝑥 точно так же, как не происходит переноса информации между двумя будильниками, заранее поставленными на определённые моменты времени и зазвеневшими поэтому в разных точках пространства с таким интервалом времени между звонками, что свет не мог бы связать эти два события. В настоящем же примере нужно было предварительно в течение длительного срока ускорять длинный прямой стержень, пока он не приобрёл бы своей конечной скорости, а наблюдатель в начале координат не имеет никакого шанса передать только что появившуюся у него информацию другому наблюдателю, находящемуся далеко от него вдоль оси 𝑥, с помощью мчащейся точки пересечения. В части б) этого упражнения рассмотрена безуспешная попытка передать такую вновь полученную информацию со сверхсветовой скоростью.
б) В этом случае точка пересечения сможет перемещаться вправо не быстрее, чем со скоростью распространения в стержне акустических волн, т.е. со скоростью, во много раз меньшей, чем скорость света.
в) Обозначим угловую скорость вращения прожектора через ω (в радианах в секунду). Условие того, что скорость поворота луча превышает 𝑐, имеет вид
ω𝑟
>
𝑐
или
𝑟
>
𝑐/ω
.
Указанное в условии предупреждение вовсе не передаётся от 𝐴 к 𝐵, совершенно так же, как оно не передавалось бы в случае, если будильники поставлены на очень близкие друг к другу моменты времени.
г) Да, скорость луча на экране может превышать скорость света, как и скорость вращения луча прожектора в части в) этого упражнения могла быть больше 𝑐. ▲
29. Синхронизация движущимися часами — подробный пример
Решение дано в тексте.
30. Конструкция часов и замедление их хода
В основе всех рассуждений лежит допущение, что невозможно определить абсолютную скорость движения инерциальной системы отсчёта исходя из вида физических законов, записанных в этой системе, и из входящих в них численных значений констант. Принцип работы любых реальных часов использует скорость протекания тех или иных физических процессов. Возьмём в одной инерциальной системе покоящиеся часы различных конструкций и сравним их ход; затем проделаем это для такого же набора часов, покоящихся в другой инерциальной системе. Если относительный ход часов разных конструкций будет меняться от одной инерциальной системы к другой, то это позволило бы найти абсолютное различие между разными инерциальными системами. Такое неодинаковое поведение разных физических процессов при переходах между системами отсчёта противоречило бы принципу относительности, и поэтому мы должны признать, что это невозможно. Взяв в исходной инерциальной системе часы, прокалиброванные в метрах светового времени, и осторожно ускорив их так, чтобы они в конце концов стали покоиться в другой инерциальной системе отсчёта, движущейся равномерно и прямолинейно относительно первой, мы (как следует предположить) получим в этой второй системе часы, правильно прокалиброванные в метрах светового времени. ▲
31. Инерциальные системы отсчёта, связанные с Землёй
а) Путь по вертикали 𝑧, пройденный за время 𝑡сек при свободном падении первоначально покоившейся частицей, находится из формулы
𝑧
=
1
2
𝑔𝑡
сек
²
Здесь 𝑔≈10 м/сек² —«гравитационное ускорение» (ускорение силы тяжести) вблизи поверхности Земли. В нашем случае время падения лишь немного превышает 1 метр светового времени, т.е. около 3,3⋅10⁻⁹ сек. Отсюда
𝑧
≈
10
2
⋅
(3,3⋅10⁻⁹)²
≈
5⋅10⁻¹⁷
м
.
Это на два порядка меньше размеров атомного ядра! Итак, пространственно-временная область размерами (1 м × 1 м × 1 м пространстве) × 1 м во времени является инерциальной с точностью до 5⋅10⁻¹⁷ м. Пусть, например, пройденное при падении расстояние измеряется интерференционными методами при помощи видимого света. Тогда минимальное обнаружимое смещение при падении примерно равно длине световой волны — около 5000 Å (5⋅10⁻⁷ м). Чтобы частица при своём падении пролетела такой путь, требуется
⎛
⎜
⎝
(Путь)⋅2
𝑔
⎞½
⎟
⎠
=
3⋅10⁻⁴
сек
=
=
10⁵
м
светового времени.
За такой срок частица, летящая с околосветовой скоростью, прошла бы в искровой камере приблизительно 𝐿=10⁵ м =100 км!
б) За 22 м светового времени (т.е. 73⋅10⁻⁹ сек =73 нсек) частица пройдёт при падении из состояния покоя путь 𝑧, приблизительно равный
𝑧
=
10
2
⋅
(73⋅10⁻⁹)²
≈
2,5⋅10⁻¹⁴
м
,
что примерно втрое превышает диаметр нуклона. С такой точностью является инерциальной связанная с Землёй система отсчёта в опыте Майкельсона — Морли. ▲
32. Размеры инерциальной системы
a1) На рис. 46 являются подобными два треугольника с острым углом θ соответственно при вершинах в точке 𝐵 и в центре Земли. Меньшая сторона первого из них равна ε/2, а второго 25/2 м. Записывая формулу пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников, получим
ε/2
250 м
=
(25 м)/2
6,4⋅10⁶ м
,
откуда ε≈10⁻³ м, что и следовало доказать.
а2) Замените на рис. 46 пометку «25 м» на Δ𝑥, а 𝑟𝑒 - на 𝑟. Пусть ускорение, действующее по направлению от точки 𝐵 к центру Земли, равно 𝑎*. Тогда проекция этого ускорения на ось 𝑥, параллельную поверхности Земли, составляет 𝑎* sin θ. Относительное ускорение (Δ𝑎𝑥)* двух частиц (первая падает из точки 𝐵, а вторая - из 𝐴) вдвое превышает эту величину и имеет обратный ей знак:
(
Δ
𝑎
𝑥
)*
=-
2𝑎*
sin θ
.
Из правого треугольника, острый угол θ которого помещён в центре Земли, найдём
sin θ
=
Δ𝑥
2𝑟
,
так что окончательно
(
Δ
𝑎
𝑥
)*
=-
2𝑎*
Δ𝑥
2𝑟
=-
Δ𝑥
𝑟
𝑎*
,
что и требовалось получить.
б1) Воспользуемся данным в тексте советом; тогда
𝑎*
⎪
⎪𝑟
=
const
𝑟²
;
𝑎*
⎪
⎪𝑟+Δ𝑧
=
const
(𝑟+Δ𝑧)²
=
const
𝑟²
⎛
⎜
⎝
1+
Δ𝑧
𝑟
⎞⁻²
⎟
⎠
=
=
const
𝑟²
⎡
⎢
⎣
1-2
Δ𝑧
𝑟
+3
⎛
⎜
⎝
Δ𝑧