𝑟
⎞²
⎟
⎠
-
…
⎤
⎥
⎦
,
где взята формула бинома Ньютона. Учтём, что Δ𝑧 много меньше, чем 𝑟, и пренебрежём поэтому всеми членами разложения, за исключением первых двух. Вычитая теперь величину 𝑎* в точке 𝑟 из 𝑎* в точке 𝑟+Δ𝑧, получим
Δ
𝑎*
≈-
2
𝑎*
𝑟
Δ
𝑧
.
Знак «минус» означает, что ускорение будет тем меньше, чем больше высота. Две частицы, начавшие падение из состояния покоя в точках, лежащих одна над другой (на одной вертикали), подвергаются действию относительного ускорения, и расстояние между ними будет возрастать. Такое относительное ускорение (Δ𝑎𝑧)* положительно и по абсолютной величине равно Δ𝑎*:
(
Δ
𝑎
𝑧
)*
≈+
2
𝑎*
𝑟
Δ
𝑧
.
что и требовалось доказать.
б2) Расстояние, пройденное из состояния покоя под действием постоянного ускорения, пропорционально этому ускорению. Сравнивая между собой уравнения (52) и (53), следует заключить, что ускорение одной частицы относительно другой теперь будет вдвое больше, чем в части а), и к тому же противоположного знака. Значит, вместо уменьшения расстояния на 10⁻³ м [часть а)] мы должны иметь теперь увеличение расстояния на 2⋅10⁻³ м. Поэтому таблицу на стр. 99 следует пересмотреть следующим образом. В первом столбце запишите ε≥2⋅10⁻³ м; в третьем столбце Δ𝑥=0; в четвёртом столбце Δ𝑦 и Δ𝑧≤25 м. Если бы мы в первом столбце ничего не изменили, то в четвёртом столбце нам пришлось бы записать: Δ𝑦≤25 м, Δ𝑧≤12,5 м.
в) Следуя данным здесь советам, найдём
𝑎*
~
1
/
𝑟²
,
(
Δ
𝑎
𝑥
)*
~
Δ
𝑥
/
𝑟³
,
ε
~
(
Δ
𝑎
𝑥
)*
(
Δ
𝑡)²
,
ε
~
Δ
𝑥
(
Δ
𝑡)²
/
𝑟³
.
Если здесь оставить ε прежним, то следует увеличить Δ𝑥 в 8 раз, Δ𝑡 в 14 раз, т.е. (Δ𝑡)² в 200 раз. Поэтому числитель в последней дроби увеличится в 1600 раз, и если мы хотим во всех случаях сохранить одно и то же значение ε, то нужно, чтобы 𝑟³ также возросло в 1600 раз:
𝑟³
≈
1600
𝑟
𝑒
³
.
Отсюда найдём
𝑟
≈
12
𝑟
𝑒
.
▲
33. Опыт Майкельсона — Морли
а) При полёте против ветра самолёт движется относительно Земли со скоростью 𝑐-𝑣. Поэтому он проходит отрезок 𝐴𝐵 за время 𝑡₁=𝑑/(𝑐-𝑣), где 𝑑 - длина отрезка 𝐴𝐵.
При полёте с попутным ветром самолёт имеет относительно Земли скорость 𝑐+𝑣, и срок обратного полёта оказывается равен 𝑡₂=𝑑/(𝑐+𝑣).
Полное время полёта по замкнутому маршруту равно
𝑡₁
+
𝑡₂
=
2𝑑/𝑐
1-(𝑣/𝑐)²
.
Но 2𝑑/𝑐 - время такого полёта в отсутствие ветра. Значит, время, необходимое для перелёта по замкнутому маршруту между 𝐴 и наветренным пунктом 𝐵, превышает время для такого же перелёта в условиях штиля в 1/[1-(𝑣/𝑐)²] раз, что и требовалось показать.
Полёт против ветра требует большей затраты времени, чем полёт по ветру. Поэтому средняя скорость относительно Земли при полёте по замкнутому маршруту должна быть меньше, когда дует ветер, чем при штиле. Это особенно ясно в предельном случае, когда скорость ветра 𝑣 приближается к величине скорости самолёта относительно воздуха 𝑐. При этом самолёт может вернуться из 𝐵 в 𝐴 за короткий срок
𝑑
𝑐+𝑣
≈
𝑑
2𝑣
,
но зато ему необходимо очень большое время, чтобы долететь против ветра из 𝐴 в 𝐵 вначале.
б) Чтобы ветер его не сносил в сторону, самолёт должен развить скорость против ветра, равную относительно воздуха скорости самого ветра, т.е. 𝑣. Абсолютная же величина скорости самолёта относительно воздуха равна 𝑐. Применяя теорему Пифагора к треугольнику скоростей, обнаружим, что скорость самолёта поперёк ветра (равная его скорости относительно Земли) составляет √𝑐²-𝑣². Чтобы покрыть с такой скоростью полный путь 2𝑑 (полёт по замкнутому маршруту), требуется время
2𝑑
√𝑐²-𝑣²
=
2𝑑/𝑐
√1-(𝑣/𝑐)²
,
в 1/√1-(𝑣/𝑐)² раз превышающее срок полёта по замкнутому маршруту 2𝑑/𝑐 при штиле.
в) Примем длину пути по замкнутому маршруту равной 𝐿=2𝑑. Тогда разность времён таких полётов в двух взаимно перпендикулярных направлениях получится, если вычесть из выражения, найденного в части а) этого упражнения, выражение, найденное в части б):
Δ
𝑡
=
𝐿/𝑐
1-(𝑣/𝑐)²
-
𝐿/𝑐
√1-(𝑣/𝑐)²
.
Разлагая по формуле бинома Ньютона выражения в скобках, найдём
Δ
𝑡
=
𝐿
𝑐
⎧
⎨
⎩
⎡
⎢
⎣
1
+
⎛
⎜
⎝
𝑣
𝑐
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑣
𝑐
⎞⁴
⎟
⎠
+…
⎤
⎥
⎦
-
-
⎡
⎢
⎣
1
+
1
2
⎛
⎜
⎝
𝑣
𝑐
⎞²
⎟
⎠
+
3
8
⎛
⎜
⎝
𝑣
𝑐
⎞⁴
⎟
⎠
+…
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
.
При 𝑣/𝑐≪1 величина Δ𝑡 достаточно точно выражается одним членом низшей степени по 𝑣/𝑐:
Δ
𝑡
≈
𝐿
2𝑐
⎛
⎜
⎝
𝑣
𝑐
⎞²
⎟
⎠
.
Это и требовалось доказать. Первым вернётся в 𝐴 самолёт, летавший поперёк ветра.
г) Разрешая последнее уравнение относительно 𝑣 и подставляя численные значения из условия задачи, получим 𝑣=14 км/час. Направление ветра ориентировано вдоль маршрута того самолёта, который вернулся последним. Однако данные условия задачи не позволяют определить, в каком из двух направлений, параллельных этому маршруту, собственно дует ветер.
д) Подставляя в формулу, полученную в части в) этого упражнения, величины
𝐿
=
22
м
,
𝑣
=
30⋅10³
м
/
сек
,
𝑐
=
3⋅10⁸
м
/
сек
,
найдём
Δ
𝑡
=
11
3
⋅
10⁻¹⁶
сек
.
е) Полагая Δ𝑡≤10⁻²
𝑇
=
2⋅10⁻¹⁷
сек
=
𝐿
𝑐
⎛
⎜
⎝
𝑣
𝑐
⎞²
⎟
⎠
(обратите внимание на то, что множитель 1/2 в выражении для Δ𝑡 в части в) сокращается) и подставляя сюда данные задачи, получим
𝑣
≤