tg
α
2
=
β𝑦
β𝑥
=
1
ch θ𝑟
=
√
1-β
𝑟
²
.
Рис. 147.
Требуется найти величину малого угла δ/2 (рис. 147), который составляет разность между π/4 радиан и α/2, откуда получается сам угол δ как отклонение полного угла α, образованного векторами скорости в лабораторной системе отсчёта, от прямого, т.е. от π/2=90°. Из формулы 13 в табл. 8 найдём
tg
π
-
tg
α
tg
δ
=
tg
⎛
⎜
⎝
π
-
α
⎞
⎟
⎠
=
4
2
.
2
4
2
1
+
tg
π
⋅
tg
α
4
2
Воспользовавшись полученным выше выражением для tg α/2 и приняв во внимание, что tg π/4=1, а также что для малых δ справедливо приближённое равенство tg δ/2≈δ/2, мы придём к формуле
δ
2
=
1-√1-β𝑟²
1+√1-β𝑟²
≈
1-(1-β𝑟²/2)
1-(1-β𝑟²/2)
=
β𝑟²/2
2-β𝑟²/2
≈
β𝑟²
4
;
δ
=
β𝑟²
2
,
где выражение √1-β𝑟² было подвергнуто разложению по правилу бинома Ньютона, в котором мы оставили лишь два первых слагаемых. От нас требовалось выяснить, при каких β𝑟 угол δ не превышает 10⁻² рад. Очевидно, это условие принимает вид
β
𝑟
²
<
1
50
или
β
𝑟
<
1
7
.
Когда симметричные относительно друг друга скорости сталкивающихся и разлетающихся частиц в системе отсчёта ракеты будут меньше этой величины, угол между векторами скорости разлетающихся частиц в лабораторной системе будет отличаться от прямого менее чем на 10⁻² рад. В лабораторной системе отсчёта, где одна из частиц первоначально покоилась, скорость налетающей частицы поэтому должна быть меньше, чем 2β 𝑟<2/7. ▲
41. Примеры предельных переходов к механике Ньютона
Пример
движения
β
Корректно ли в этом примере
использование механики Ньютона
?
См. в тексте
(стр.
118
)
1/37200
Да, потому что
β<1/7
10⁻⁴
Да
1/137
Да
79/137
Нет
4/30
Да, на пределе
10
⁻²
Да
▲
42. Замедление времени для μ-мезона — подробный пример
Решение дано в тексте.
43. Замедление времени для π⁺-мезона
Если бы замедления времени не происходило, то из условий задачи следовало бы, что на расстоянии 5,4 м от мишени оставалась бы нераспавшейся половина мезонов. В упражнении 10 [см. формулу (44)] было выяснено, что множитель, характеризующий замедление времени, — это ch θ𝑟. Следовательно, с точки зрения лабораторной системы отсчёта в рассматриваемом опыте π-мезоны будут «жить» в течение срока, в 15 раз превышающего их «собственное время жизни»— то, которое наблюдается в системе отсчёта ракеты, где они покоятся. В лаборатории те же мезоны летят с околосветовыми скоростями, и поэтому они смогут пролететь около 15 «характерных расстояний» (см. таблицу в тексте), т.е. приблизительно 80 м, прежде чем их количество в пучке вследствие распада снизится вдвое по сравнению с первоначальным. ▲
44. Аберрация света звёзд
Ориентируем ось 𝑥 в направлении относительного движения. В покоящейся по отношению к Солнцу лабораторной системе отсчёта свет, приходящий от далёких звёзд 𝐵 и 𝐷, будет иметь компоненты скорости β𝑦=±1 и β𝑥=0. В системе отсчёта ракеты (Земли) скорость распространения этого света также равна единице, но теперь 𝑥-компонента его скорости будет равна -β𝑟, т.е. относительной скорости движения двух рассматриваемых систем отсчёта мимо друг друга. Синус угла φ равняется 𝑥-компоненте скорости, разделённой на абсолютную величину скорости:
sin φ
=
β𝑟
1
=
β
𝑟
.
Этот вывод находится в согласии с результатами, полученными в упражнении 22. ▲
45. Опыт Физо
Закон сложения скоростей (24) даёт
β
=(
β'
+
β
𝑟
)(
1
+
β'β
𝑟
)⁻¹
.
При малых β𝑟 это выражение можно разложить по формуле бинома Ньютона, ограничиваясь лишь членами первой степени по β𝑟:
(
1
+
β'β
𝑟
)⁻¹
≈
1
-
β'β
𝑟
.
Используя это разложение в предыдущей формуле и вновь отбрасывая в окончательном результате члены, в которых β𝑟 возводится в степень выше первой, получим требуемый ответ — формулу (62). ▲
46. Черенковское излучение
Формула (63) непосредственно следует из построения на рис. 62. Чтобы испускать черенковское излучение в некоторой среде, частица должна в ней двигаться по крайней мере не медленнее, чем распространяется световой импульс в этой среде. Это видно из формулы (63): косинус угла φ никак не может быть больше единицы. Поэтому в люсите частица, для того чтобы давать черенковское излучение, должна двигаться по крайней мере со скоростью, равной 2/3 скорости света в пустоте. С другой стороны, угол φ в данном веществе будет максимален, когда его косинус имеет наименьшее значение, т.е. при наибольшем значении скорости частиц β. Ясно, что β не может превышать единицу, так что в люсите величина косинуса φ, равная 2/(3β) всегда больше или равна 2/3. Соответствующий этому максимальный угол составляет 0,841 рад, или 48°,2. ▲
47. Искривление лучей света звёзд Солнцем
Путь, равный диаметру Солнца, световой сигнал проходит за время, равное 1,4⋅10⁹ м, или 4,7 сек; это и есть «эффективное время падения» светового луча, проходящего вплотную к поверхности Солнца. Полная скорость падения равна этому времени, умноженному на ускорение силы тяжести у поверхности Солнца (275 м/сек²), так что составляет приблизительно 1300 м/сек, или 4,3⋅10⁻⁶ м пути за 1 м светового времени. Угол отклонения луча, если он малый, можно приблизительно определить как отношение полученной скорости падения к полной скорости света, т.е. к единице. Итак, мы предсказали, что угол, на который отклоняется световой луч, равен 4,3⋅10⁻⁶ рад. Общая теория относительности предсказывает вдвое больший эффект, что хорошо согласуется с данными наблюдений, приведёнными в конце упражнения. ▲
48. Геометрическое истолкование
Упражнение построено так, что каждый шаг рассуждения мал, и читатель постепенно подводится к решению; поэтому едва ли было бы целесообразно давать здесь более детальный анализ. Но в последней части упражнения [часть к)] полезно отметить, что степень рассинхронизированности часов лабораторной системы отсчёта и часов системы ракеты определяется величиной sh θ𝑟 [см. формулу (46)], которая меняет свой знак при изменении знака относительной скорости (а тем самым и параметра относительной скорости). Напротив, степень замедления времени определяется величиной sh θ𝑟 [см. формулу (44)], не меняющей знака при изменении знака скорости. ▲