10⁵ св. лет
10⁻¹⁵ м
=
(10⁵ лет)(3⋅10⁷ сек/год)(3⋅10⁸ м/сек)
10⁻¹⁵ м
=
=
9⋅10²⁰ м
10⁻¹⁵ м
≈
10³⁶
=
ch
θ
𝑟
=
𝑚
𝐸
.
Чтобы протон приобрёл необходимую скорость, ему необходимо придать энергию, равную в единицах массы
𝑇
=
𝐸
-
𝑚
=
10³⁶𝑚
-
𝑚
≈
10³⁶𝑚
≈
≈
10³⁶𝑚
⋅
10³⁶⋅10⁻²⁷
кг
≈
10⁹
кг
,
иначе говоря, потребуется превратить в энергию около одного миллиона тонн массы, чтобы разогнать этот протон! ▲
57. Границы ньютоновской механики
а) Ответ также указан в конце книги!
б) Согласно формуле без номера, находящейся на стр. 155 между формулами (81) и (82), из разложения бинома Ньютона следует разложение по степеням β и для релятивистской энергии:
𝐸
=
𝑚
+
𝑚
β²
2
+
3
8
𝑚β⁴
+
…,
откуда
𝑇
=
𝐸
-
𝑚
=
𝑚
β²
2
+
3
8
𝑚β⁴
+
…
.
Здесь первый член справа — обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии. Сравнивая с ним следующий член, найдём, что поправка порядка 10⁻² к ньютоновской механике, рассматриваемая в этом упражнении, будет иметь место при
⎡
⎢
⎣
𝑚β²
+
3
𝑚β⁴
⎤
⎥
⎦
-
𝑚β²
2
8
2
=
10⁻²
,
𝑚β²/2
т.е. когда
β²
=
4
3
⋅
10⁻²
.
Это и есть граница ньютоновской механики; сравните её с другими «границами», найденными в упражнениях 39 и 40 гл. 1. При такой скорости отношение кинетической энергии к энергии покоя равно
𝑚β²
2
⋅
𝑚⁻¹
=
β²
2
=
2
3
⋅
10⁻²
.
В случае протона его кинетическая энергия, соответствующая границе применимости ньютоновской механики, равна
𝑇
𝑝
=
2
3
⋅
10⁻²
𝑚
𝑝
≈
2
3
⋅
10⁻²
Бэв
=
2
3
⋅
10⁻²⋅10⁹
эв
=
2
3
⋅
10⁷
эв
≈
7
Мэв
.
В случае же электрона соответствующая кинетическая энергия равна
𝑇
𝑒
=
2
3
⋅
10⁻²
𝑚
𝑒
≈
2
3
10⁻²⋅10⁶
эв
≈
3
кэв
.
▲
58. Релятивистская ракета
а) Законы сохранения импульса и энергии выражаются как
-
𝑚
sh
θ
выбр
+
𝑀₂sh (𝑑θ)
=
0,
𝑚
ch
θ
выбр
+
𝑀₂ch (𝑑θ)
=
𝑀₁.
Перенесите вторые слагаемые из левых частей обеих формул вправо, разделите соответствующие части получившихся формул друг на друга и учтите соотношения
sh θвыбр
ch θвыбр
=
th
θ
выбр
=
β
выбр
,
sh (𝑑θ)
≈
𝑑θ
,
ch (𝑑θ)
≈
1
.
Вы получите требуемые соотношения.
б) Когда параметр скорости мал, β=θ, так что
𝑣
=
β𝑐
≈
β
выбр
𝑐
ln
𝑀₁
𝑀
=
𝑣
выбр
ln
𝑀₁
𝑀
,
что и требовалось показать.
в) Из закона сохранения энергии легко заключить, что 𝑚+𝑀₂=𝑀₁ так как для того, чтобы получить 𝑀₁, нужно сложить 𝑚 и 𝑀₂, предварительно умноженные на коэффициенты, много большие единицы. Рассматриваемый здесь процесс — это «обращённое неупругое столкновение»: в неупругих столкновениях кинетическая энергия переходит в массу покоя, тогда как здесь, наоборот, масса покоя превращается в кинетическую энергию ракеты и продуктов сгорания топлива.
г) Даже при наибольших допустимых отношениях масс (𝑀₁/𝑀→∞) и при самых высоких скоростях выброса (βвыбр→1) скорость ракеты будет лишь приближаться к скорости счета, но не сможет её превысить:
β
=
th θ
→
1
при
θ
=
β
выбр
ln
𝑀₁
𝑀
→
∞
.
д) Вернёмся к выражению закона сохранения энергии, данному в ответе к части а). При очень большой скорости выброса величина ch θвыбр стремится к бесконечности, и чтобы закон сохранения не нарушался при конечных значениях 𝑀₂ и 𝑀₁, величина массы выбрасываемых продуктов сгорания 𝑚 должна становиться очень малой. Предельный случай достигается для света, когда масса покоя ракетного горючего полностью превращается в энергию излучения.
е) Ракета, работающая на световых вспышках, не очень практична. Предположим (для грубой оценки), что лампа вместе с батарейкой обладает массой 1/2 кг и излучает пучок света мощностью 5 вт; за полчаса (около 2000 сек) излучённая энергия составит тогда 10⁴ вт⋅сек, или 10⁴ дж. Чтобы найти количество массы, перешедшей при этом в энергию, следует разделить 10⁴ дж на 𝑐² Получается приблизительно 10⁻¹³ кг — неудивительно, что наша лампа с батарейкой не становится заметно легче после работы!
Отношение масс для такой «ракеты» составляет
1
2
кг
×
⎛
⎜
⎝
1
2
кг
-
10⁻¹³
кг
⎞
⎟
⎠
,
или приблизительно 1+2⋅10⁻¹³. Чтобы вычислить скорость, приобретённую при этом первоначально покоившейся лампой [формула (110)], нужно найти натуральный логарифм числа 1+2⋅10⁻¹³; логарифм единицы равен нулю, и вблизи этого значения натуральный логарифм возрастает так же, как и его аргумент. Иными словами, ln(1+δ)≈δ при δ≪1. Отсюда и из формулы (110) следует, что скорость, приобретённая лампой, равна
β
≈
θ
=
ln(1+2⋅10⁻¹³)
≈
2⋅10⁻¹³
или
𝑣
=
𝑐β
=
6⋅10⁻⁵
м
/
сек
.
Быстро бы прогорела та пиротехническая компания, которая выпускала бы ракеты весом по полкило, «летающие» с такой скоростью! Причина того, что лампа способна развить лишь такую ничтожную скорость, выясняется при обсуждении, предложенном в тексте упражнения. Дело в том, что «шлак», остающийся при реакции — использованные батареи,— ускоряется здесь вместе с ракетой. Напротив, химическая ракета практичнее, так как выбрасывает свой шлак через сопло. Существует ряд «бесшлаковых» реакций для элементарных частиц, и в случае исходных частиц с отличными от нуля массами покоя потенциально важны реакции типа