π𝑟²
Земля
≈
3⋅(6⋅10⁶
м
)²
≈
10¹⁴
м
²
,
так что на неё падает в секунду около 1,4⋅10¹⁴ дж энергии в форме солнечного света. В год это составляет примерно 4⋅10²¹ дж — почти 50 000 кг энергии (массы). Часть падающего на неё света, конечно, отражается Землёй, а ещё некоторая часть снова излучается ею в космос в других диапазонах частот.
д) Скорость каждого поезда, выраженная в метрах пути на метр светового времени, равна
β
=
𝑣
𝑐
=
45 м/сек
3⋅10⁸ м/сек
=
1,5⋅10⁻⁷
.
При этом полная кинетическая энергия очень близка к той, которую даёт теория Ньютона:
𝑇
полн
≈
𝑚β²
2
≈
(10⁶
кг
)(2⋅10⁻¹⁴)
=
2⋅10⁻⁸
кг
=
=
2⋅10⁻⁵
г
=
20
мк
.
Такова кинетическая энергия двух поездов до столкновения; она и переходит в ту добавочную массу покоя, на которую увеличивается масса поездов, рельсов и насыпи сразу же после столкновения. ▲
63. Релятивистская химия
10⁸ дж энергии соответствуют (10⁸ дж)/𝑐²≈10⁻⁹ кг. Это составляет примерно 10⁻¹⁰ от тех 9 кг воды, которые получаются при полном соединении водорода и кислорода, а самые чувствительные химические весы неспособны зарегистрировать изменение веса, менее чем в 1000 раз превышающее эту величину. ▲
64. Релятивистский осциллятор
а) Нет, инженер не сможет получить здесь сколь угодно высокой частоты. Так как скорость электрона не может быть больше скорости света, период одного колебания не удастся неограниченно уменьшать (в системе отсчёта ящика).
б) Когда напряжение возрастает вдвое, кинетическая энергия электрона в соответствующих точках его траектории также удваивается. Однако ньютоновское выражение для кинетической энергии, справедливое при малых скоростях, имеет вид ½⋅𝑚β², и поэтому скорость β увеличивается в √2=1,414… раз при удвоении величины напряжения. Во столько же раз, следовательно, увеличится при этом и частота.
в) Вывод, полученный в части б), наводит на мысль, что частота колебаний электрона увеличивается пропорционально корню квадратному из величины приложенного напряжения. Чтобы найти коэффициент пропорциональности, заметим, что электрон подвергается постоянному ускорению в каждой половине ящика, причём на него действует сила, равная 𝑞𝑉₀/(𝐿/2) Здесь 𝑞 — заряд электрона, а 𝐿 — ширина ящика (равная в нашем случае 1 м). Тогда ускорение равно 𝑎=𝑞𝑉₀/(𝑚𝐿/2), а время 𝑡, необходимое для того, чтобы электрон прошёл путь от одной стенки ящика (где он покоился) до его центра, определяется из обычного уравнения равноускоренного движения, 𝑠=½⋅𝑎𝑡². В нашем случае 𝑠=𝐿/2 и 𝑡=𝑇/4 (четверть периода), тогда как 𝑎 даётся приведённым выше выражением. Отсюда
𝐿
2
=
1
2
2𝑞𝑉₀
𝑚𝐿
⎛
⎜
⎝
𝑇
2
⎞²
⎟
⎠
и следовательно,
ν²
=
⎛
⎜
⎝
1
𝑇
⎞²
⎟
⎠
=
𝑞𝑉₀
8𝑚𝐿²
.
Действительно, полученное выражение для частоты оказывается пропорционально квадратному корню из величины приложенного напряжения 𝑉₀.
г) В крайнем ультрарелятивистском случае электрон большую часть времени движется почти со скоростью света. В результате величина периода 𝑇мин становится близка к тому времени, за которое свет покрывает расстояние 2𝐿:
𝑇
мин
=
2𝐿
𝑐
или
ν
макс
=
1
𝑇мин
=
𝑐
2𝐿
.
д) Начертить предлагаемый график проще, если взять не самую величину ν, а безразмерное отношение
ν
νмакс
=
⎛
⎜
⎝
𝑞𝑉₀
2𝑚𝑐²
⎞½
⎟
⎠
(ньютоновский предел),
ν
νмакс
=
1
(ультрарелятивистский предел).
Рис. 150.
Этим формулам нетрудно дать простое истолкование. Величина 𝑞𝑉₀ представляет собой потенциальную энергию электрона, когда он покоится около стенки ящика; эта же величина равна и кинетической энергии электрона при прохождении им через сетку в центре ящика. В любом случае она определяет энергию электрона как колеблющегося грузика. Величина же 𝑚𝑐² — это просто масса покоя электрона, выраженная в единицах энергии. Разумеется, ньютоновская формула выполняется, когда частота много меньше своего ультрарелятивистского предела, иначе говоря, если кинетическая энергия электрона много меньше его энергии покоя. Иными словами, область перехода от ньютоновского предела к ультрарелятивистскому определяется соотношением 𝑞𝑉₀≈2𝑚𝑐²=1 Мэв, т.е. 𝑉₀≈1 000 000 в. ▲
65. Импульс без массы?
а) Скорость переноса массы равна просто 𝑑𝐸/𝑑𝑡, если выразить энергию в единицах массы.
б) Импульс равен
𝑥
𝑑𝑚
𝑑𝑡
=
𝑥
𝑑𝐸
𝑑𝑡
.
в) Движение платформы происходит оттого, что центр масс системы в целом 1) не может начать двигаться. Так как масса покоя передаётся от аккумулятора воде, платформа должна двигаться влево (см. рис. 105) для того, чтобы центр масс всей системы сохранял неизменное положение. После того как заряд аккумулятора истощится, масса покоя перестанет передаваться воде, а вместе с этим отпадёт необходимость в компенсирующем движении платформы — она остановится. Окончательный сдвиг платформы ε будет составлять крайне малую часть её длины 𝑥. Пусть вся израсходованная аккумулятором энергия равна 𝐸, так что воде была передана соответствующая ей масса (в форме теплоты). Положим полную массу платформы и всей её нагрузки равной 𝑀 (исключая массу 𝐸). Тогда условие неподвижности центра масс можно выразить формулой
1) Авторы используют здесь свой термин «центр импульса». См. по этому поводу наше примечание на стр. 214 — Прим. перев.
𝑀ε
+
𝐸𝑥
=
0,
откуда окончательный сдвиг платформы определяется в виде
ε
=-
𝐸𝑥
𝑀
.
г) Любой объект, покоящийся в данной системе отсчёта, не совершает в ней механической работы. Поэтому в системе отсчёта платформы перенос энергии слева направо может осуществляться лишь посредством движущейся ремённой передачи. В системе отсчёта стола, если считать, что платформа катится по нему без трения, движение энергии (массы) платформы в целом влево или вправо невозможно. Поэтому масса платформы 𝑀 отступает влево в точности настолько, чтобы компенсировать перенос ремённой передачей энергии (массы) вправо. В этой системе отсчёта скорости переноса энергии платформой и ремённой передачей в точности равны друг другу, но противоположно направлены. Наконец, в системе отсчёта наблюдателя, движущегося вместе с ремённой передачей в какую-то одну сторону, будет значительно ускорен перенос энергии в противоположную сторону встречным движением ремня, так как увеличится относительная скорость, и с этим наблюдателем нельзя не согласиться — ведь для него масса всей системы в целом несомненно находится в быстром движении. ▲