1 В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия пробной массы в гравитационном поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрицательна и обращается в нуль на бесконечности, где поле отсутствует; таким образом, энергия возрастает с высотой. Авторы в действительности имеют в виду работу, необходимую для удаления массы из гравитационного поля, равную по абсолютной величине потенциальной энергии этой массы, но обратную ей по знаку. Возрастание потенциальной энергии с высотой отражает тот факт, что гравитация создает силы притяжения, а не отталкивания между массами (по принципу минимума энергии).— Прим. перев.
г) Формула (119) непосредственно следует из ответа на часть б) этого упражнения. Для Земли (𝑀*=4,44⋅10⁻³ м, 𝑟Земля6,7⋅10⁶ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна
⎛
⎜
⎝
Δν
ν
⎞
⎟
⎠
Земля
≈
-7⋅10⁻¹⁰
,
т.е. численно совпадает с ответом на часть б). Для Солнца (𝑀*=1,47⋅10³ м, 𝑟Солнце7⋅10⁸ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна
⎛
⎜
⎝
Δν
ν
⎞
⎟
⎠
Солнце
≈
-2⋅10⁻⁶
.
▲
74. Плотность спутника Сириуса
Из формулы (119) следует величина радиуса
𝑟
=
𝑀*
-Δν/ν
=
1,5⋅10³ м
7⋅10⁻⁴
≈
2⋅10⁶
м
(менее одной трети радиуса Земли!). Плотность равна
𝑀
=
2⋅10³⁰
кг
≈
6⋅10¹⁰
кг
/
м
³
=
6⋅10⁷
г
/
см
³
4π
𝑟²
4⋅8⋅10¹⁸
м
³
3
— в шестьдесят миллионов раз больше плотности воды! ▲
75. Формулы Допплера
а) В системе отсчёта ракеты
𝑝'
𝑥
=
𝑝' cos φ',
𝑝'
𝑦
=
𝑝' sin φ'.
Подставляя эти выражения для компонент импульса в формулы преобразования Лоренца (78), найдём
𝐸'
=
-𝑝
cos φ
sh
θ
𝑟
+
𝐸
ch
θ
𝑟
,
𝑝'cos φ'
=
𝑝
cos φ
sh
θ
𝑟
-
𝐸
ch
θ
𝑟
,
𝑝'sin φ'
=
𝑝
sin φ
.
Но для фотона 𝑝=𝐸, и первое из уравнений записывается в виде
𝐸'
=
𝐸
ch
θ
𝑟
(1-β
𝑟
cos φ)
,
как это требовалось показать [уравнение (120)]. Найдём теперь из второго уравнения cos φ' и исключим из него 𝐸 пользуясь (120):
cos φ'
=
𝐸 cos φ ch θ𝑟-𝐸 sh θ𝑟
𝐸 ch θ𝑟(1-β𝑟 cos φ)
,
cos φ'
=
cos φ-β𝑟
1-β𝑟 cos φ
.
б) Будем исходить из формул, обратных (78):
𝐸
=
𝑝'
𝑥
sh θ
𝑟
+
𝐸' ch θ
𝑟
,
𝑝
𝑥
=
𝑝'
𝑥
ch θ
𝑟
+
𝐸' sh θ
𝑟
,
𝑝
𝑦
=
𝑝'
𝑦
,
𝑝
𝑧
=
𝑝'
𝑧
.
Вновь производя уже знакомые подстановки
𝑝'
𝑥
=
𝑝' cos φ'
=
𝐸' cos φ'
,
𝑝'
𝑦
=
𝑝' sin φ'
=
𝐸' sin φ'
и т.д., найдём из приведённой выше формулы преобразования энергии
𝐸
=
𝐸' ch
θ
𝑟
(1+β
𝑟
cos φ')
.
Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компонент импульса, найдём из неё
cos φ
=
cos φ'+β𝑟
1+β𝑟cos φ'
.
Эти результаты приведены в упражнении 76, а последняя формула была выведена также в упражнении 22 [уравнение (50)].
в) Энергия фотона 𝐸 и соответствующая ей классическая частота электромагнитной волны ν связаны друг с другом равенством 𝐸=ℎ/𝑐²⋅ν (см. упражнение 72). Поэтому уравнение (120) переписывается для частот в виде
ν'
=
ν ch
θ
𝑟
⋅
(1-β
𝑟
cos φ)
.
Зная лишь, какая частота наблюдается в данной системе отсчёта, ещё невозможно сказать, чему равна частота в той системе, где источник излучения покоится. Итак, когда мы измеряем в нашей системе отсчёта частоту, мы никоим образом не получаем прямой информации о скорости источника относительно нашей системы. ▲
76. Распад π⁰-мезона; подробный пример
Решение дано в тексте.
77. Полёт неоновой лампочки
Пока неоновая лампочка находится на большом расстоянии от наблюдателя и быстро к нему приближается, её свет для наблюдателя очень ярок (эффект прожектора; упражнение 22) и далеко сдвинут в синюю сторону (частоты в диапазоне фиолетовых и ультрафиолетовых волн — эффект Допплера; упражнение 75). Затем яркость резко понизится (наблюдатель окажется вне «луча прожектора»), когда косинус угла, образованного лучом зрения и осью 𝑥, станет равен β𝑟. В момент наибольшего сближения лампочки с наблюдателем её свет будет уже испытывать красное смещение (см. формулу (120) при φ=90°, cos φ=0). Когда лампочка будет улетать прочь, её свет будет очень слабым и далеко сдвинут в красную сторону (частоты в диапазоне дальних красных и инфракрасных волн). ▲
78. Физик и светофор
Учитывая в уравнении (120), что энергия 𝐸 пропорциональна частоте ν, а cos φ=-1, получим
ν'
=
ν ch
θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
)
ν
⎛
⎜
⎝
1+β𝑟
1-β𝑟
⎞½
⎟
⎠
.
Подставляя сюда ν=𝑐/λ, найдём
λ'
λ
=
⎛
⎜
⎝
1-β𝑟
1+β𝑟
⎞½
⎟
⎠
или
β
𝑟
=
1-(λ'/λ)²
1+(λ'/λ)²
.
При λ'/λ=(5300 Å)/(6500 Å)=0,81
(λ'/λ)²
=
0,66
,
так что
β
𝑟
=
0,34/1,66
=
0,20
.
откуда
𝑣
𝑟
=
β
𝑟