𝑐
=
6⋅10⁷
м
/
сек
=
=
216⋅10⁶
км
/
час
=
13⋅10⁷
миль
/
час
,
так что штраф составит приблизительно 130 миллионов долларов. ▲
79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца
На экваторе Солнца линейная скорость вращения, направленная по касательной к его поверхности, равна
𝑣
=
2π𝑟
𝑇
=
2π
2π10⁸ м
(24,7 дней)(86 400 сек/день)
=
=
2,1⋅10³
м
/
сек
,
так что
β
=
𝑣
𝑐
=
7⋅10⁻⁶
.
Из формулы (120) для эффекта Допплера, приняв φ=0, а cos φ=1, получим
ν'
=
ν
⎛
⎜
⎝
1-β𝑟
1+β𝑟
⎞½
⎟
⎠
или
λ
=
λ'
⎛
⎜
⎝
1-β𝑟
1+β𝑟
⎞½
⎟
⎠
≈
λ'
⎛
⎜
⎝
1
-
7⋅10⁻⁶
2
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
-
7⋅10⁻⁶
2
⎞
⎟
⎠
≈
≈
λ'
(1-7⋅10⁻⁶)
,
так что
Δλ
λ
=-
Δν
ν
≈
7⋅10⁻⁶
.
Сдвиг будет происходить в голубую сторону, когда излучающая точка приближается к Земле, и в красную, когда она удаляется от Земли. Полученная величина относительного допплеровского сдвига частоты сравнима с величиной относительного гравитационного сдвига также в случае Солнца 2⋅10⁻⁶ (см. упражнение 73). ▲
80. Расширяющаяся Вселенная
а) Согласно условиям задачи,
λ'
=
4870 Å
,
λ
=
7300 Å
,
φ
=
φ'
=
π
.
Формулу (120) можно записать в виде
𝐸
𝐸'
=
λ'
λ
=
⎛
⎜
⎝
1-β𝑟
1+β𝑟
⎞½
⎟
⎠
или
β
𝑟
=
1-(λ'/λ)²
1+(λ'/λ)²
.
Так как λ'/λ=0,67, (λ'/λ)²=0,45 то скорость равна
β
𝑟
=
0,55
1,45
=
0,38
.
б) Для того чтобы со скоростью β=0,38 (в единицах скорости света) пройти расстояние 5⋅10⁹ световых лет, требуется (5⋅10⁹)/0,38=13⋅10⁹ лет. Если на более раннем этапе скорость была больше (гравитация произвела в дальнейшем торможение), то это же расстояние могло быть пройдено за более короткий срок. Поэтому, учитывая замедляющее влияние тяготения в прошлом, мы придём к меньшему сроку, прошедшему с момента начала расширения. ▲
81. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера
Пусть время путешествия туда и обратно равно 𝑡 в системе отсчёта Павла и 𝑡' — в системе отсчёта Петра. Тогда полное число пульсаций переменной звезды одно и то же в обеих системах отсчёта и равно соответственно ν'𝑡'=ν𝑡. Промежуток времени 𝑡, который покажут часы брата, оставшегося на Земле, равен 𝑡=(ν'/ν)𝑡. Найдём отношение частот по формуле (122), имея в виду, что переменная наблюдается домоседом Павлом под углом 90° к направлению движения Петра (φ=90°, cos φ=0). Отсюда получим
𝑡
=
𝑡'
ch
θ
𝑟
.
В упражнении 27 было указано, что скорость равна β𝑟=24/25, так что
ch
θ
𝑟
=
(1-β
𝑟
²)⁻¹
/
²
=
[1-(24/25)]⁻¹
/
²
=
=
(69/625)⁻¹
/
²
=
25/7
.
Поэтому, если 𝑡'=7 лет, то 𝑡=255 лет, что уже было получено в упражнении 27. ▲
82. «Не превышайте скорости»
Скорость приближающейся машины равна 𝑣𝑟=80 миль/час=36 м/сек. Отсюда
β
𝑟
=
𝑣𝑟
𝑐
=
12⋅10⁻⁸
Частота ν' в системе отсчёта машины может быть получена из уравнения (122), если принять φ=π. Ограничиваясь в разложении членами первой степени по β𝑟, найдём
ν'
=
ν
пад
⎛
⎜
⎝
1+β𝑟
1-β𝑟
⎞½
⎟
⎠
≈
ν
пад
⎛
⎜
⎝
1
+
β𝑟
2
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
+
β𝑟
2
⎞
⎟
⎠
,
ν'
=
ν
пад
(1+β
𝑟
).
Затем радиолокационный луч отражается от машины в противоположном направлении, и при этом в системе отсчёта машины частота ν' остаётся неизменной. Частоту, наблюдаемую в системе отсчёта автострады (лаборатории), можно найти из уравнения, обратного (122) (см. первую формулу в упражнении 76),
ν
отр
=
ν'
ch
θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
cos φ').
Теперь φ'=0, так что
ν
отр
=
ν'
⎛
⎜
⎝
1+β𝑟
1-β𝑟
⎞½
⎟
⎠
≈
ν'
(1+β
𝑟
).
Подставляя сюда полученное выше выражение для ν' найдём
ν
отр
≈
ν
пад
(1+β
𝑟
)²
≈
ν
пад
(1+2β
𝑟
).
Сдвиг частоты приблизительно равен
ν
отр
-
ν
пад
=
ν
пад
⋅
2β
𝑟
=
(2455
Мгц
)⋅2⋅12⋅10⁻⁸
≈
≈
590⋅10⁻⁶
Мгц
=
590
гц
.
Наименьшее изменение частоты, поддающееся обнаружению, равно
Δ
ν
отр
=
2ν
пад
Δ
β
𝑟
.
Если Δ𝑣𝑟=10 миль/час=4,47 м/сек, то Δβ𝑟≈10⋅10⁻⁸, и мы получим относительный сдвиг частоты