Рис. 11. Лабораторная система отсчёта (слева) п система ракеты (справа) —дальнейшая схематизация рис. 10. В обеих системах заштрихованы центральные опорные часы.
Наблюдатели в лаборатории и на ракете фиксируют одно и то же событие
Взорвём хлопушку. Её взрыв будет зарегистрирован ближайшими к нему часами лабораторной решётки; он будет также зарегистрирован ближайшими к месту взрыва часами решётки ракеты. Как связаны между собой записи о координатах взрыва у часов-хронографов в лаборатории и на ракете? Частично на этот вопрос сразу же отвечает принцип относительности: в записях часов в лаборатории и на ракете будет указано одно и то же значение координаты 𝑦. Для доказательства предположим, что часы-хронограф на ракете снабжены кистью, смоченной в краске, и делают отметки на лабораторной решётке при своём движении. Это изображено на рис. 12 для случая, когда 𝑦=1 м. Эти отметки на лабораторной решётке служат для нахождения лабораторной координаты 𝑦, соответствующей 𝑦=1 у часов на ракете. Эти отметки ложатся на лабораторные часы с 𝑦=1, не выше и не ниже их. Ведь если бы краска ложилась на стержни решётки ниже лабораторных часов с 𝑦=1, то оба наблюдателя заключили бы, что часы на ракете с 𝑦=1 прошли «ниже» лабораторных часов с 𝑦=1. Цепочка отметок краской сделала бы этот факт очевидным для всех. Аналогично, если бы эти отметки ложились на стержни выше лабораторных часов с 𝑦=1, то оба наблюдателя заключили бы, что часы на ракете с 𝑦=1 прошли «над» лабораторными часами с 𝑦=1. В обоих случаях имелась бы возможность экспериментально отличить друг от друга эти две системы отсчёта. Но ведь отличить эти системы друг от друга с помощью какого-либо другого эксперимента было невозможно — в принципе относительности содержится утверждение, что такого экспериментально находимого различия между инерциальными системами отсчёта вообще не может быть. Отсюда мы заключаем, что отличить эти две системы отсчёта невозможно и с помощью этого эксперимента. Поэтому координата 𝑦 любого события, и в том числе взрыва, с которого мы начали этот абзац, будет одной и той же как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе.
Рис. 12. Доказательство того, что координата 𝑦 любого события одинакова в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты.
Координата 𝑦 события одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты
Из аналогичных доводов следует, что и координата 𝑧 любого события одинакова как в системе отсчёта ракеты, так и в лабораторной системе. Заметим, что обе эти координаты события — и 𝑦, и 𝑧 — отсчитываются в направлении, перпендикулярном направлению относительного движения наших систем отсчёта.
Координата 𝑧 события одинакова как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты
Тот факт, что длины, измеренные поперёк направления относительного движения систем отсчёта, одинаковы, сразу же даёт возможность сравнивать ход часов в обеих решётках. Пусть световая вспышка бегает, отражаясь между двумя зеркалами, установленными в системе отсчёта ракеты на опорных часах и на часах, расположенных в точке с координатой 𝑦=1 точно над опорными часами. Такая вспышка будет возвращаться в исходную точку через 2 м светового времени системы ракеты. Траекторию этого светового луча можно проследить и в лабораторной системе вверх до того же самого значения координаты 𝑦 и снова вниз до опорных часов. Учитывая, что скорость света в обеих системах одинакова, можно вычислить лабораторное время, соответствующее времени распространения света по двухметровому замкнутому пути в системе отсчёта ракеты. В следующем параграфе этот расчёт приведёт к заключению об инвариантности интервала.
5. ИНВАРИАНТНОСТЬ ИНТЕРВАЛА
Какая мера характеризует относительное расположение событий 𝐴 и 𝐵 и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта?
Расстояние между двумя городскими воротами определяется по значениям разностей координат 𝑥 этих ворот и по значениям разностей их координат 𝑦. Как определить аналогичную физическую величину — пространственно-временной интервал между двумя событиями? Между какими двумя событиями определяется такой интервал?
Пусть событие 𝐴 — акт излучения световой вспышки. Пусть событие 𝐵 — акт приёма этой вспышки после того, как она была отражена другим объектом. Эти два акта можно назвать парой событий. Нас не интересуют сами по себе ни свет, ни отражающий его объект. Однако анализ траектории светового луча в пространстве-времени позволяет легко и быстро найти величину (тот самый интервал), которая связана с этой парой событий и значение которой одинаково во всех инерциальных системах отсчёта.
Событие 𝐴 — акт излучения вспышки
Событие 𝐵 — акт приёма вспышки
Событие 𝐴 — лампа даёт вспышку. Её свет распространяется к отражателю 𝑅 (рис. 13), от которого он снова идёт вниз. Событие 𝐵 — приём вспышки. Рассмотрим теперь подробности согласно рис. 13.
а) Путь светового луча, наблюдаемый в лабораторной системе отсчёта.
б) Путь светового луча, наблюдаемый в системе отсчета ракеты.
в) Путь светового луча, наблюдаемый в системе отсчета сверхракеты.
Рис. 13. Испускание, отражение и приём опорной вспышки (приём происходит в начале координат в системе отсчёта ракеты).
Подробности о координатах событий 𝐴 и 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты
Лампа даёт вспышку в лабораторной системе в нулевой момент времени в начале системы координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 (на рисунке заштриховано). Пролёт ракеты мимо этого места приурочен к такому времени, что и для ракеты вспышка имеет место также в начале координат (заштриховано снова) и в нулевой момент. Подытожим данные о координатах события 𝐴 (акт излучения):
𝑥
𝐴
=0,
𝑦
𝐴
=0,
𝑡
𝐴
=0,
(в лабораторной системе),
𝑥
𝐴
́ =0,
𝑦
𝐴
́ =0,
𝑡
𝐴
́ =0,
(в системе ракеты).
Отражатель укреплён на часах ракеты на расстоянии 1 м прямо над началом координат.
В системе ракеты приём вспышки осуществляется в том же месте, где произошло её излучение. Свет вспышки прошёл замкнутый путь длиной 2 м, и на этот путь потребовалось 2 м светового времени. Поэтому координаты события 𝐵 (акт приёма вспышки) в системе отсчёта ракеты равны:
𝑥
𝐵
́ =0,
𝑦
𝐵
́ =0,
𝑧
𝐵
́ =2
м
.
Более содержательны не абсолютные значения координат, а разности координат событий 𝐴 и 𝐵:
Δ
𝑥
́
=
𝑥
𝐵
́ -𝑥
𝐴
́
=
0,
Δ
𝑦
́
=
𝑦
𝐵
́ -𝑦
𝐴
́
=
0,
Δ
𝑡
́
=
𝑡
𝐵
́ -𝑡
𝐴
́
=
2
м
.
В лабораторной системе отсчёта приём вспышки происходит не в начале координат, а на расстоянии Δ𝑥 вправо от него. Если скорость ракеты велика, то велико и расстояние Δ𝑥; если скорость мала, то мало и Δ𝑥. (На рисунке это расстояние равно 1 м, однако дальнейшие расчёты справедливы для любого расстояния). В лабораторной системе отсчёта свет распространяется по гипотенузам двух прямоугольных треугольников, основание каждого из которых равно Δ𝑥/2, а высота 1 м. Полная длина пути поэтому получается равной